PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 da UFPR 2024

1ª fase

Sabendo que \sen(2x) = 3/5, assinale a alternativa que corresponde ao valor de [\sen(x) + \cos(x)]^2.

  1. A
    0,8
  2. B
    1,0
  3. C
    1,2
  4. D
    1,4
  5. E
    1,6
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Resolução comentada

Desenvolva o quadrado da soma:

[\sen(x)+\cos(x)]^2 = \sen^2(x) + 2\,\sen(x)\cos(x) + \cos^2(x)

Agora use duas identidades conhecidas:

  1. Relação fundamental: \sen^2(x)+\cos^2(x)=1.
  2. Arco duplo do seno: \sen(2x)=2\,\sen(x)\cos(x).

Agrupando os termos, a expressão fica:

[\sen(x)+\cos(x)]^2 = \underbrace{\sen^2(x)+\cos^2(x)}_{1} + \underbrace{2\,\sen(x)\cos(x)}_{\sen(2x)} = 1+\sen(2x)

Como \sen(2x)=\dfrac{3}{5}=0{,}6:

[\sen(x)+\cos(x)]^2 = 1+0{,}6 = 1{,}6

Não é preciso descobrir x: basta reconhecer que o termo do meio do quadrado é exatamente \sen(2x).

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana quem confunde com [\sen(x)-\cos(x)]^2=1-\sen(2x)=0{,}4 ou erra o sinal do termo cruzado; também B tenta quem esquece o termo do meio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACalcula 1-\sen(2x), o valor de [\sen(x)-\cos(x)]^2, trocando o sinal.
  • BConsidera apenas \sen^2(x)+\cos^2(x)=1 e esquece o termo 2\sen(x)\cos(x).
  • CSoma 1 com 2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{5} ou outro valor errado; não corresponde a 1+0{,}6.
  • DUsa 1+\frac{2}{5}, errando o valor de \sen(2x) ao somar.

Assuntos: identidades trigonométricas, arco duplo.

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Fonte: UFPR 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗