Questão 4 da UFPR 2024

A função composta f(x) = q(p(x)) consiste em substituir p(x) no lugar de x em q:

Agora, o que significa ter uma única raiz? Veja a equação (x+a)^2 = b:

• se b < 0, não há raiz real, pois um quadrado nunca é negativo;
• se b > 0, há duas raízes, x = -a \pm \sqrt{b};
• se b = 0, há uma só raiz: x = -a.

Portanto, para ter raiz única, é preciso b = 0.

Com b = 0, a raiz é x = -a. O enunciado diz que essa raiz vale \frac{1}{2}:

1. -a = \frac{1}{2}
2. a = -\frac{1}{2}

A soma pedida é:

Conferindo: f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2, que só se anula em x = \frac{1}{2}.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece que a raiz de (x+a)^2=0 é -a e conclui a=\frac{1}{2}.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhuma combinação válida: com b=0 e a=-\frac{1}{2} a soma não é -2.
• BResultaria de a=-1 ou de supor b\neq 0, o que daria duas raízes ou nenhuma.
• DTroca o sinal de a: toma a=\frac{1}{2} (a raiz) em vez de a=-\frac{1}{2} (a raiz é -a).
• EValor sem relação com a condição de raiz única; não respeita b=0 e a=-\frac{1}{2}.

Assuntos: função composta, raízes de função quadrática.

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