PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 da UFPR 2024

1ª fase

Duas retas no plano se intersectam no ponto P, formando um ângulo reto. Além disso, essas retas são tangentes a uma circunferência nos pontos Q e R, conforme ilustra a figura ao lado. Sabendo que o perímetro da região hachurada mede (2\pi + 8)\ cm, assinale a alternativa que corresponde à medida do raio da circunferência em cm.

Duas retas perpendiculares se intersectam no ponto P e tangenciam uma circunferência nos pontos R e Q. A região delimitada pelos segmentos PR, PQ e pelo arco de circunferência menor entre R e Q está hachurada de cinza.

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. D
    5
  5. E
    6
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Resolução comentada

Seja r o raio e O o centro. Os raios OR e OQ são perpendiculares às tangentes nos pontos de tangência. Assim, o quadrilátero PROQ tem três ângulos retos (em P, R e Q), então o quarto ângulo, em O, também é reto. Logo, PROQ é um quadrado de lado r.

O perímetro da região hachurada é formado por três partes:

  1. PR = r, pois é lado do quadrado;
  2. PQ = r, pelo mesmo motivo;
  3. o arco RQ menor, que corresponde ao ângulo central de 90^\circ, ou seja, um quarto da circunferência: \dfrac{2\pi r}{4} = \dfrac{\pi r}{2}.

Somando:

2r + \frac{\pi r}{2} = 2\pi + 8

Colocando r em evidência:

r\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 8 \Rightarrow r\cdot\frac{4+\pi}{2} = 2\pi + 8

O lado direito pode ser fatorado: 2\pi + 8 = 2(\pi + 4). Então:

r = \frac{2(\pi+4)\cdot 2}{4+\pi} = 4\ \text{cm}

Conferindo: 2\cdot 4 + \dfrac{4\pi}{2} = 8 + 2\pi. ✓

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor que não satisfaz 2r+\pi r/2=2\pi+8; dá perímetro 4+\pi, metade do pedido.
  • BCom r=3 o perímetro seria 6+1{,}5\pi, diferente de 2\pi+8.
  • DCom r=5 o perímetro seria 10+2{,}5\pi, maior que o dado.
  • ECom r=6 o perímetro seria 12+3\pi, muito maior que o dado.

Assuntos: circunferência, tangentes, comprimento de arco.

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Fonte: UFPR 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗