PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 da UFPR 2024
Ana quer descobrir a senha do celular de seu irmão Carlos, a qual é formada por uma sequência de quatro dígitos numéricos dentre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Ela sabe que o irmão sempre usa, em suas senhas, os três dígitos de sua residência: 4, 6 e 8. Recentemente, ela descobriu que o número formado pela senha é ímpar. De acordo com essas informações, quantas possibilidades Ana deve considerar para descobrir a senha de Carlos?
- A8
- B11
- C15
- D24
- E30
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Resolução comentada
A senha tem quatro posições e deve conter os dígitos 4, 6 e 8. Sobra uma posição para um quarto dígito, que pode ser qualquer um de 0 a 9.\n\nUm número é ímpar quando o último algarismo é ímpar. Os dígitos 4, 6 e 8 são pares, então nenhum deles pode ocupar a última posição. Essa posição fica para o quarto dígito, que precisa ser ímpar: 1, 3, 5, 7 ou 9.\n\nOs dígitos 4, 6 e 8 ocupam, então, as três primeiras posições, em alguma ordem.\n\n1. Último dígito: 5 possibilidades (1, 3, 5, 7, 9).\n2. Ordenar 4, 6 e 8 nas três primeiras posições: 3! = 6 possibilidades.\n3. Pelo princípio multiplicativo: 5 \times 6 = 30.\n\nAna deve considerar 30 possibilidades.\n\nAlternativa E.
Por que as outras alternativas estão erradas
- ANúmero sem relação com a contagem correta; não combina as 6 ordens dos dígitos com as 5 escolhas do último.
- BNão corresponde a nenhum raciocínio válido de contagem para esse problema.
- CCalcula só 3\times5, esquecendo que 4, 6 e 8 podem ser permutados de 3! formas.
- DUsa 4\times3!, considerando só 4 opções para o dígito ímpar em vez de 5.
Assuntos: análise combinatória, princípio multiplicativo, permutação.
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Fonte: UFPR 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗