PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 da UFPR 2023

1ª fase

As únicas raízes reais do polinômio p(x) dado pelo determinante abaixo são -2 e -1.

p(x) = \text{det} \begin{pmatrix} q(x) & x + 2 & x^2 + 2x \\ x^2 + x & 0 & 1 \\ x + 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Sabendo-se que o polinômio q(x) = ax^2 + bx + c (com a, b e c constantes) tem as mesmas raízes reais de p(x), é correto afirmar que:

  1. A
    b^2 - 4ac < 0 e a > \frac{3}{4}.
  2. B
    b^2 - 4ac < 0 e a < \frac{3}{4}.
  3. C
    b^2 - 4ac > 0 e a < \frac{3}{4}.
  4. D
    b^2 - 4ac > 0 e a > \frac{3}{4}.
  5. E
    b^2 - 4ac > 0 e a = \frac{3}{4}.
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Resolução comentada

Expandindo o determinante pela primeira linha:

p(x) = q(x)\cdot(0-1) - (x+2)\big[(x^2+x)-(x+1)\big] + (x^2+2x)(x^2+x)
  1. -(x+2)(x^2-1) = -x^3-2x^2+x+2
  2. (x^2+2x)(x^2+x) = x^4+3x^3+2x^2
  3. Somando: x^4+2x^3+x+2 = (x+2)(x^3+1) = (x+2)(x+1)(x^2-x+1)

Logo p(x) = -q(x) + (x+1)(x+2)(x^2-x+1).

Como q tem as mesmas raízes reais de p, ou seja, -2 e -1, e é de grau 2, então q(x)=a(x+1)(x+2) com a\neq 0. Ele tem duas raízes reais distintas, então b^2-4ac>0.

Substituindo:

p(x) = (x+1)(x+2)\,[\,x^2-x+1-a\,]

Para que -1 e -2 sejam as únicas raízes reais, o fator x^2-x+1-a não pode ter raízes reais novas. Seu discriminante deve ser negativo:

1-4(1-a)<0 \Rightarrow a<\tfrac34

Casos limites: se a=\tfrac34, surge a raiz dupla x=\tfrac12, que é real e nova. Se a=3 ou a=7, o fator se anula em -1 ou -2, mas aparece outra raiz real (2 ou 3). Os dois casos são proibidos, e a=3 e a=7 já estão fora de a<\tfrac34.

Portanto b^2-4ac>0 e a<\tfrac34.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADiz que o discriminante de q é negativo, mas q tem duas raízes reais distintas, e também coloca a > 3/4.
  • BAcerta a < 3/4, mas q tem raízes reais -2 e -1, então o discriminante é positivo, não negativo.
  • DAcerta o discriminante positivo, mas a > 3/4 faria x² - x + 1 - a ter raízes reais novas.
  • Ea = 3/4 gera a raiz real extra x = 1/2 em p, contrariando o enunciado.

Assuntos: determinantes, polinômios, discriminante da equação do 2º grau.

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Fonte: UFPR 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗