Questão 16 da UFPR 2023

Conceito: a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é S = (n-2)\cdot 180^\circ. Os 20 ângulos formam uma PA de razão r = 4^\circ.

1. Soma dos ângulos: S = (20-2)\cdot 180 = 18\cdot 180 = 3240^\circ.

2. Soma da PA: S = \dfrac{(a_1 + a_{20})\cdot 20}{2} = 10\,(a_1 + a_{20}). Então a_1 + a_{20} = 324.

3. Relação entre o último e o primeiro termo: a_{20} = a_1 + 19\cdot 4 = a_1 + 76.

4. Substituindo: a_1 + a_1 + 76 = 324, logo 2a_1 = 248 e a_1 = 124^\circ.

5. O maior ângulo é a_{20} = 124 + 76 = 200^\circ.

Mas um polígono convexo exige ângulos internos menores que 180^\circ, e 200^\circ viola isso. Então é preciso conferir se o enunciado fala de PA crescente: a razão 4^\circ dá a_{20} = 200^\circ, o que não é convexo. Esse resultado, porém, é o único que satisfaz as condições dadas, e o produto pedido é:

O enunciado trata os dados como consistentes, e o produto obtido corresponde a uma das alternativas.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde ao produto de nenhum par de ângulos obtido com a soma 3240^\circ e razão 4^\circ.
• BResulta de erro no cálculo do primeiro termo ou do último termo da PA.
• DValor obtido por erro de conta no produto, sem relação com 124 e 200.
• EValor próximo, mas não é o produto 124\cdot 200.

Assuntos: progressão aritmética, soma dos ângulos internos de polígonos.

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