PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 da UFPR 2023

1ª fase

Ana, Beatriz e Carlos escolhem lugares para se sentar em uma mesa hexagonal regular. Cada lugar corresponde a um dos lados do hexágono, que estão numerados de 1 a 6, conforme a figura ao lado. Os lados 1 e 4 são considerados lados opostos na mesa, assim como 2 e 5, e 3 e 6. De quantas formas diferentes Ana, Beatriz e Carlos podem escolher os lugares numerados de modo que nenhum deles fique sentado ao lado oposto do outro?

Hexágono regular com seus seis lados numerados de 1 a 6 em sentido horário, iniciando no topo com o número 1.

  1. A
    48.
  2. B
    36.
  3. C
    24.
  4. D
    12.
  5. E
    8.
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Resolução comentada

Os lugares formam 3 pares de lados opostos: (1,4), (2,5) e (3,6). Para nenhum dos três ficar oposto a outro, cada pessoa deve ocupar um par diferente.

Como Ana, Beatriz e Carlos são pessoas distintas, contamos por etapas:

  1. Ana pode escolher qualquer um dos 6 lugares: 6 possibilidades.
  2. Beatriz não pode ficar no lugar de Ana nem no lado oposto a ela. Sobram 6-2=4 lugares, que pertencem aos outros dois pares: 4 possibilidades.
  3. Carlos precisa ficar no par que sobrou, que ainda tem 2 lugares livres: 2 possibilidades. Ele não pode estar nos pares de Ana ou Beatriz, pois ficaria oposto a uma delas ou ocuparia o lugar já tomado.

Pelo princípio multiplicativo:

6\cdot 4\cdot 2 = 48

Conferindo de outro modo: há 3!=6 formas de distribuir as pessoas pelos 3 pares, e em cada par a pessoa escolhe 1 entre 2 lugares, ou seja, 2^3=8. Então 6\cdot 8=48.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErra ao contar, por exemplo, 6·3·2, tratando como se Beatriz tivesse só 3 lugares.
  • CEsquece a escolha do lugar dentro do par, ou divide por 2 indevidamente (6·4·1).
  • DConta só 3!·2, ignorando as escolhas de lado em cada par.
  • EConta apenas as escolhas de lado (2^3), esquecendo a distribuição das pessoas pelos pares.

Assuntos: princípio multiplicativo, análise combinatória.

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Ver como caiu na prova Questão 15 no caderno 1ª fase da UFPR 2023

Fonte: UFPR 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗