PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 da UFPR 2023

1ª fase

Sejam r e s retas no plano cartesiano que são perpendiculares e se intersectam no ponto (3,3). Sabendo-se que a reta r intersecta o eixo x no ponto (2,0), assinale a alternativa que corresponde ao valor numérico da área do triângulo delimitado pelas retas r e s e pelo eixo x.

  1. A
    12.
  2. B
    15.
  3. C
    21.
  4. D
    24.
  5. E
    30.
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Resolução comentada

Reta r: passa por (2,0) e (3,3), então o coeficiente angular é m_r=\dfrac{3-0}{3-2}=3.

Reta s: é perpendicular a r, então m_s=-\dfrac{1}{3} (produto dos coeficientes igual a -1). Ela passa por (3,3):

y-3=-\frac{1}{3}(x-3)

Para y=0: -3=-\dfrac{1}{3}(x-3), logo x-3=9 e x=12. Então s corta o eixo x em (12,0).

Triângulo: seus vértices são (2,0), (12,0) e (3,3), onde (3,3) é a interseção de r e s.

  1. Base sobre o eixo x: 12-2=10.
  2. Altura: distância de (3,3) ao eixo x, que é 3.
  3. Área: \dfrac{10\cdot 3}{2}=15.

Confira: o ângulo reto está em (3,3), e os catetos medem \sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10} e \sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}. Área =\dfrac{\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}}{2}=15. ✓

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem calcula base vezes altura (10\cdot3=30) e esquece de dividir por 2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra a base ou a altura, não chegando a \frac{10\cdot3}{2} com os valores corretos.
  • CNão corresponde a nenhuma conta correta com base 10 e altura 3.
  • DCalcula algo como base 12 e altura 4, valores que não aparecem no problema.
  • EEsquece de dividir por 2 e usa 10\cdot3=30.

Assuntos: retas perpendiculares, área de triângulo, geometria analítica.

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Fonte: UFPR 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗