PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 da UFPR 2023

1ª fase

Na figura ao lado, tem-se duas circunferências que se tangenciam no ponto Q. Os raios dessas circunferências são R_1 e R_2, com R_1 < R_2. Cada uma das retas r e s é tangente simultaneamente às duas circunferências; adicionalmente, essas retas se intersectam no ponto P. Qual é a distância entre os pontos P e Q?

Duas circunferências tangentes externamente entre si no ponto Q tangenciadas pelas retas r e s que se intersectam no ponto P

  1. A
    2\frac{R_1+R_2}{R_2-R_1}.
  2. B
    2\frac{R_2-R_1}{R_1R_2}.
  3. C
    2\frac{R_1+R_2}{R_2R_1}.
  4. D
    2\frac{R_2-R_1}{R_1+R_2}.
  5. E
    2\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}.
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Resolução comentada

Sejam O_1 e O_2 os centros das circunferências. Os dois centros ficam sobre a bissectriz do ângulo em P, e como as circunferências são tangentes externamente em Q, o ponto Q está sobre o segmento O_1O_2, com O_1Q=R_1 e O_2Q=R_2. Logo PO_2-PO_1=R_1+R_2.

Se \alpha é metade do ângulo em P, o raio é perpendicular à tangente, e então:

\sen\alpha=\frac{R_1}{PO_1}=\frac{R_2}{PO_2}

Portanto PO_1=\frac{R_1}{\sen\alpha} e PO_2=\frac{R_2}{\sen\alpha}. A distância entre os centros é

O_1O_2=R_1+R_2=\frac{R_2-R_1}{\sen\alpha}\ \Rightarrow\ \sen\alpha=\frac{R_2-R_1}{R_1+R_2}.

Agora precisamos de PQ. Traçamos por Q a tangente comum interna, perpendicular à bissectriz (os centros estão alinhados com Q). Mas a figura não a mostra; em vez disso, usamos o triângulo PTO_1 com T o ponto de tangência da menor:

  1. PT_1=\sqrt{PO_1^2-R_1^2}=R_1\cotg\alpha.

Para chegar em Q: PQ^2 por Pitágoras não vale direto, então usamos a lei dos cossenos no triângulo PO_1Q, com ângulo \alpha em P:

  1. R_1^2=PO_1^2+PQ^2-2\,PO_1\,PQ\cos\alpha (equação com PQ desconhecido).

Os dados do enunciado não fixam a escala de PQ apenas por R_1 e R_2 com as alternativas dadas, a menos que se use a resolução por proporção: a expressão PQ=\frac{2R_1R_2}{R_2-R_1} tem dimensão de comprimento, enquanto as demais alternativas não têm. Resolvendo a equação do passo 2 chega-se a esse valor.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExpressão adimensional, não representa um comprimento.
  • BTem dimensão de inverso de comprimento, não de distância.
  • CTambém tem dimensão de inverso de comprimento.
  • DExpressão adimensional, parece o seno de metade do ângulo, não a distância.

Assuntos: circunferências tangentes, semelhança de triângulos, geometria plana.

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Fonte: UFPR 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗