PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 da UFPR 2022

1ª fase

Considere a seguinte matriz:

A = \begin{pmatrix} \sen\theta & 7 & -\cos\theta \\ \cos\theta & 7 & \sen\theta \\ \sen\theta & 13 & \cos\theta \end{pmatrix}

Assinale a alternativa que corresponde à soma dos valores de \theta \in [0, \pi] que satisfazem \det A = -13.

  1. A
    \dfrac{\pi}{4}
  2. B
    \dfrac{2\pi}{3}
  3. C
    \dfrac{3\pi}{4}
  4. D
    2\pi
  5. E
    4\pi
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Calcule o determinante por cofactores pela primeira linha, com s=\sen\theta e c=\cos\theta:

\det A = s(7c-13s) - 7(c^2-s^2) + (-c)(13c-7s)

Desenvolvendo:

\det A = 7sc-13s^2-7c^2+7s^2-13c^2+7sc = 14sc-6s^2-20c^2

Agora use as identidades 2sc=\sen2\theta, s^2=\dfrac{1-\cos2\theta}{2} e c^2=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}:

\det A = 7\sen2\theta-3(1-\cos2\theta)-10(1+\cos2\theta) = 7\sen2\theta-7\cos2\theta-13

Impondo \det A=-13:

7\sen2\theta-7\cos2\theta=0 \Rightarrow \tg2\theta=1

Como \theta\in[0,\pi], temos 2\theta\in[0,2\pi]. Nesse intervalo, \tg2\theta=1 para 2\theta=\dfrac{\pi}{4} ou 2\theta=\dfrac{5\pi}{4}.

Portanto \theta=\dfrac{\pi}{8} ou \theta=\dfrac{5\pi}{8}, e a soma é:

\frac{\pi}{8}+\frac{5\pi}{8}=\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só uma solução de 2\theta ou erra o intervalo, ficando com valor pequeno demais.
  • BNão corresponde às raízes \pi/8 e 5\pi/8; resulta de erro na equação trigonométrica.
  • DSoma valores de 2\theta ou usa um intervalo maior que [0,\pi].
  • EValor grande demais, incompatível com duas raízes em [0,\pi].

Assuntos: determinante, equações trigonométricas.

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Fonte: UFPR 2022 · Fase única. Prova oficial ↗