Questão 14 da UFPR 2022

Os vértices estão a 60° um do outro, começando em z_1 = r (eixo x). Na forma polar, z_k = r\,(\cos\theta_k + i\,\sen\theta_k), com \theta_k = 60^\circ(k-1). Seja w = \cos 60^\circ + i\,\sen 60^\circ, de modo que z_k = r\,w^{k-1}.

Equação 1: z_2 + z_6 = r(w + \bar w) = r\cdot 2\cos 60^\circ = r. Como o resultado é r e não r^2 (só coincidiria se r=1), a equação é falsa.

Equação 2: z_3 está a 120^\circ e z_5 a 240^\circ = -120^\circ. São simétricos em relação ao eixo x, logo \bar z_3 = z_5. Verdadeira.

Equação 3: z_2\cdot z_3 = r^2\,w^{1+2} = r^2 w^3 = r^2(\cos 180^\circ + i\,\sen 180^\circ) = -r^2. Mas z_4 = -r. Falsa (de novo, só valeria com r=1).

Equação 4: \dfrac{z_5}{z_6} = \dfrac{r\,w^4}{r\,w^5} = w^{-1}, que tem módulo 1 e argumento -60^\circ. Já \dfrac{z_6}{r} = w^5 tem argumento 300^\circ = -60^\circ e módulo 1. Como w^{-1} = w^5, a equação é verdadeira.

Portanto, só as equações 2 e 4 são verdadeiras.

Alternativa C.

Pegadinha: As equações 1 e 3 são verdadeiras se r=1, o que engana quem supõe circunferência unitária; como r>0 é qualquer, falham (B, D e E).

Por que as outras alternativas estão erradas

• Adiz que só a 3 é verdadeira, mas z_2 z_3 = -r^2, não z_4=-r.
• Btoma as equações 1 e 3 como verdadeiras, esquecendo que r é qualquer, não necessariamente 1.
• Dinclui a equação 1, mas z_2+z_6 = r e não r^2.
• Econsidera todas verdadeiras, ignorando que as equações 1 e 3 só valem para r=1.

Assuntos: números complexos, forma polar, polígonos regulares.

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