PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 50 da UFPR 2021

1ª fase

O estágio inicial de um modelo epidemiológico, que mede o número de pessoas infectadas em uma população, é descrito pela função I(t) = I_0 2^{rt}, em que I(t) representa o número de infectados da população, I_0 > 0 representa o número inicial de infectados, r > 0 representa a taxa de contágio e t é o tempo medido em dias desde o início da epidemia. Com relação ao número de infectados, é correto afirmar:

  1. A
    Caso a taxa de infectados r esteja no intervalo (0,1), então o número de infectados I(t) decresce conforme os dias passam.
  2. B
    Caso I_0 = 3 e r = 2{,}3, então o número de infectados I(t) aumenta desde o primeiro dia até atingir um máximo por volta do sexto dia, e depois começa a decrescer.
  3. C
    Caso I_0 = 1 e r = 1, então a cada dia que passa a quantidade de infectados I(t) aumenta em 2.
  4. D
    Caso I_0 = 1 e r = 0{,}5, então é necessário pelo menos 20 dias para que o número de infectados I(t) seja maior que 1.000.
  5. E
    Se a taxa de contágio r aumentar, então haverá menos pessoas infectadas conforme os dias passam.
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Resolução comentada

A função I(t)=I_0\,2^{rt} é exponencial de base 2>1, com expoente rt crescente (pois r>0 e t\ge 0). Logo, I(t) sempre cresce, nunca decresce nem tem máximo. Vamos testar cada item.

  1. Item A: com 0<r<1, ainda vale rt crescente, então I(t) cresce. Falso.
  2. Item B: a função não atinge máximo, só cresce. Falso.
  3. Item C: com I_0=1 e r=1, I(t)=2^t. De um dia para o outro, I(t+1)=2\cdot I(t): o número dobra, e não aumenta em 2 unidades. Falso.
  4. Item D: com I_0=1 e r=0{,}5, I(t)=2^{t/2}. Em t=20: I(20)=2^{10}=1024>1000. Em t=18: 2^9=512<1000. Em t=19: 2^{9{,}5}\approx 724<1000. Portanto, o número só passa de 1.000 a partir de cerca de t=20 (mais precisamente t>19{,}93), ou seja, é preciso pelo menos 20 dias, considerando dias inteiros. Verdadeiro.
  5. Item E: quanto maior r, maior o expoente rt e mais infectados, não menos. Falso.

Só o item D é correto.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana ao confundir "dobrar" (multiplicar por 2) com "aumentar em 2" (somar 2).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom r em (0,1) a função continua crescente, pois a base 2 é maior que 1 e rt cresce com t.
  • BA exponencial de base 2 não tem máximo; ela cresce indefinidamente.
  • CCom I_0=1 e r=1, o número dobra a cada dia (multiplica por 2), em vez de somar 2.
  • EAumentar r aumenta o expoente rt, logo há mais infectados, não menos.

Assuntos: função exponencial, crescimento exponencial.

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Ver como caiu na prova Questão 50 no caderno 1ª fase · Inglês da UFPR 2021

Fonte: UFPR 2021 · 1ª fase · Inglês. Prova oficial ↗

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