PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 50 da UFPR 2010

1ª fase · Física: Leis de Kepler

Neste ano, comemoram-se os 400 anos das primeiras descobertas astronômicas com a utilização de um telescópio, realizadas pelo cientista italiano Galileu Galilei. Além de revelar ao mundo que a Lua tem montanhas e crateras e que o Sol possui manchas, ele também foi o primeiro a apontar um telescópio para o planeta Júpiter e observar os seus quatro maiores satélites, posteriormente denominados de Io, Europa, Ganimedes e Calisto.

Satélite Raio orbital (10^5\text{ km}) Massa (10^{22}\text{ kg})
Io 4 9
Europa 6 5
Ganimedes 10 15
Calisto 20 11

Supondo que as órbitas desses satélites ao redor de Júpiter sejam circulares, e com base nas informações da tabela acima, assinale a alternativa correta. (Os valores da tabela foram arredondados por conveniência)

  1. A
    A força de atração entre Júpiter e Ganimedes é maior do que entre Júpiter e Io.
  2. B
    Quanto maior a massa de um satélite, maior será o seu período orbital.
  3. C
    A circunferência descrita pelo satélite Calisto é quatro vezes maior que a circunferência descrita pelo satélite Europa.
  4. D
    A maior velocidade angular é a do satélite Calisto, por possuir maior período orbital.
  5. E
    O período orbital de Europa é aproximadamente o dobro do período orbital de Io.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Para órbitas circulares, a gravitação dá F = \dfrac{GMm}{r^2} e a terceira lei de Kepler dá T^2 \propto r^3. O período não depende da massa do satélite.

Vamos testar cada afirmação.

  1. Força Júpiter–Ganimedes contra Júpiter–Io. Como F \propto m/r^2, usamos os valores da tabela:

    \frac{F_G}{F_{Io}} = \frac{15/10^2}{9/4^2} = \frac{0{,}15}{0{,}5625} \approx 0{,}27

    A força em Ganimedes é menor, então (A) é falsa.

  2. O período não depende da massa do satélite, então (B) é falsa.

  3. A circunferência é 2\pi r, proporcional ao raio. Calisto tem raio 20 e Europa 6, razão \approx 3{,}3, não 4. Logo (C) é falsa.

  4. Calisto tem o maior período e, por isso, a menor velocidade angular, já que \omega = 2\pi/T. Logo (D) é falsa.

  5. Comparando Europa e Io:

    \frac{T_E}{T_{Io}} = \left(\frac{6}{4}\right)^{3/2} = (1{,}5)^{1{,}5} = 1{,}5\cdot\sqrt{1{,}5} \approx 1{,}5\cdot 1{,}22 \approx 1{,}8

    Esse valor é aproximadamente o dobro, então (E) é verdadeira.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA força cai com 1/r^2; apesar da maior massa, Ganimedes está mais longe e sofre força menor (razão ≈ 0,27).
  • BO período orbital depende só do raio (e da massa de Júpiter), não da massa do satélite.
  • CA razão entre as circunferências é a razão dos raios, 20/6 ≈ 3,3, e não 4.
  • DMaior período significa menor velocidade angular, pois \omega = 2\pi/T.

Assuntos: Leis de Kepler, Gravitação universal e satélites.

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Fonte: UFPR 2010 · 1ª fase. Prova oficial ↗