PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 da UFPR 2010

1ª fase · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o ano de 2009, possa ser descrito pela função

f(t) = 18{,}8 - 1{,}3\sen\left(\frac{2\pi}{365}t\right)

sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1o de janeiro. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:

1. O período da função acima é 2\pi.
2. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais cedo.
3. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h30.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
  2. B
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  5. E
    As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
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Resolução comentada

A função tem a forma f(t)=a-b\sen(kt), com k=\frac{2\pi}{365}. Vamos testar cada afirmativa.

Afirmativa 1. O período de \sen(kt) é \frac{2\pi}{k}. Aqui:

P=\frac{2\pi}{\frac{2\pi}{365}}=365\ \text{dias}

O período é 365, e não 2\pi. Falsa.

Afirmativa 2. O pôr do sol ocorre mais cedo quando f é mínima. Como há o sinal de menos, isso acontece quando \sen\left(\frac{2\pi}{365}t\right)=1:

\frac{2\pi}{365}t=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=\frac{365}{4}\approx 91{,}25

Com t=0 em 1º de janeiro, janeiro, fevereiro e março somam 90 dias (em 2009, 31+28+31). Então t\approx 91 cai por volta de 2 de abril. Verdadeira.

Afirmativa 3. O valor mínimo é:

f_{\min}=18{,}8-1{,}3\cdot 1=17{,}5

Ou seja, 17{,}5 h, que é 17h30 (0,5 h = 30 min). Verdadeira.

As afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

Alternativa D.

Pegadinha: A afirmativa 1 engana quem lembra que o período do seno é 2\pi e esquece de dividir pelo coeficiente de t, que dá 365.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que a afirmativa 2 também é verdadeira: o mínimo ocorre em t\approx91, início de abril.
  • BConsidera o período 2\pi, mas o período é 365 dias, e ainda descarta a afirmativa 3.
  • CAceita a afirmativa 1, falsa, e descarta a 2, que é verdadeira.
  • EInclui a afirmativa 1, mas o período é 365, não 2\pi.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Fonte: UFPR 2010 · 1ª fase. Prova oficial ↗