PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 da UFPR 2008

1ª fase · Matemática: Sistemas de numeração

Quando escrevemos 4307, por exemplo, no sistema de numeração decimal, estamos nos referindo ao número 4 \times 10^3 + 3 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 7 \times 10^0. Seguindo essa mesma idéia, podemos representar qualquer número inteiro positivo utilizando apenas os dígitos 0 e 1, bastando escrever o número como soma de potências de 2. Por exemplo, 13 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 e por isso a notação [1101]_2 é usada para representar 13 nesse outro sistema. Note que os algarismos que ali aparecem são os coeficientes das potências de 2 na mesma ordem em que estão na expressão. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:

  1. [111]_2 = 7.
  2. [110]_2 + [101]_2 = [1010]_2.
  3. Qualquer que seja o número inteiro positivo k, a expressão de 2^{\text{k}} em potências de 2 tem apenas um dígito diferente de 0.
  4. Se \text{a} = [\underbrace{1111 \cdots 11}_{20\text{ dígitos}}]_2, então 2 \times \text{a} = [\underbrace{1111 \cdots 110}_{21\text{ dígitos}}]_2.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  2. B
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.
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Resolução comentada

No sistema binário, cada algarismo é o coeficiente de uma potência de 2, da direita para a esquerda: 2^0, 2^1, 2^2, \dots. Vamos testar cada afirmativa.

  1. [111]_2 = 1\times 4 + 1\times 2 + 1\times 1 = 7. Verdadeira.

  2. [110]_2 = 6 e [101]_2 = 5, então a soma é 11. Já [1010]_2 = 8 + 2 = 10. Como 11 \neq 10, é falsa. (O correto seria [1011]_2.)

  3. Para qualquer k inteiro positivo, 2^k = 1\times 2^k já é uma soma de potências de 2 com um único coeficiente 1. Em binário, é o dígito 1 seguido de k zeros. Verdadeira.

  4. a = [11\cdots1]_2 com 20 dígitos 1 vale 2^{19} + 2^{18} + \dots + 2^0. Multiplicar por 2 desloca cada potência uma posição: 2a = 2^{20} + 2^{19} + \dots + 2^1. Isso dá 20 algarismos 1 seguidos de um 0 no fim, totalizando 21 dígitos. Verdadeira.

Portanto, são verdadeiras apenas as afirmativas 1, 3 e 4.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AOmite a afirmativa 4, que é verdadeira: multiplicar por 2 acrescenta um zero à direita.
  • BConsidera a 2 verdadeira, mas 6+5=11=[1011]_2, não [1010]_2, e exclui a 1, que é verdadeira.
  • COmite a afirmativa 3, que é verdadeira: 2^k é o dígito 1 seguido de k zeros.
  • EInclui a afirmativa 2, que é falsa, e exclui a 1, que é verdadeira.

Assunto: Sistemas de numeração.

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Fonte: UFPR 2008 · 1ª fase. Prova oficial ↗