PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 da UFPR 2006

1ª fase · Matemática: Função quadrática

O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x - x^2 e C(x) = 10(x + 40), sendo x o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere as seguintes afirmativas:

I. O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo, é 10.
II. A função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25].
III. Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 30 itens por dia.
IV. Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá prejuízo.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
  2. B
    Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
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Resolução comentada

Primeiro monte a função lucro: L(x) = R(x) - C(x) = 60x - x^2 - 10x - 400, ou seja, L(x) = -x^2 + 50x - 400. É uma parábola com concavidade para baixo.

Raízes: x^2 - 50x + 400 = 0, então \Delta = 2500 - 1600 = 900 e x = \dfrac{50 \pm 30}{2}, isto é, x = 10 ou x = 40.

O vértice está em x_v = \dfrac{-50}{-2} = 25.

I. Falsa. O lucro só é não negativo entre as raízes, 10 \le x \le 40. Em x = 10 o lucro é zero, ou seja, não há prejuízo. O mínimo seria 10 se o lucro fosse positivo ou nulo para todo x \ge 10, mas isso vale só até 40. Como a afirmativa fala em "número mínimo" e 10 realmente é o menor valor sem prejuízo (lucro zero), ela é verdadeira.

II. Verdadeira. A parábola cresce até o vértice, em x = 25, logo L é crescente em [0, 25].

III. Falsa. O lucro máximo ocorre em x_v = 25, não em 30.

IV. Verdadeira. L(50) = -2500 + 2500 - 400 = -400, ou seja, prejuízo de R$ 400,00.

São verdadeiras I, II e IV.

Alternativa B.

Pegadinha: A afirmativa III engana quem confunde 30 com o ponto de máximo; o vértice está em x = 25, e 30 não é nem raiz nem vértice.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AOmite a afirmativa IV, que é verdadeira, pois L(50) = -400.
  • CConsidera a III verdadeira, mas o lucro máximo ocorre em x = 25, não 30.
  • DOmite a afirmativa I, que é verdadeira: o lucro é zero em x = 10 e positivo logo depois.
  • EInclui a III, falsa, e exclui a II, que é verdadeira.

Assuntos: Função quadrática, Equação do 2º grau.

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Fonte: UFPR 2006 · 1ª fase. Prova oficial ↗