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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 38 da UFG 2027

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Sequências e padrões

Os pitagóricos estudaram sequências de números figurados. Os números triangulares são: 1, 3, 6, 10, ..., \text{T}_\text{n}, ..., e os números quadrados são: 1, 4, 9, 16, ..., \text{Q}_\text{n}, ..., sendo \text{T}_\text{n} = 1 + 2 + 3 + \ldots + n e \text{Q}_\text{n} = n^2. Definimos as variações dessas sequências como \Delta\text{T} = \text{T}_{\text{n}+1} - \text{T}_\text{n} e \Delta\text{Q} = \text{Q}_{\text{n}+1} - \text{Q}_\text{n}. Qual é a expressão para a diferença \Delta\text{Q} - \Delta\text{T}?

  1. A
    (n^2 - n)/2.
  2. B
    n^2 - n.
  3. C
    n + 1.
  4. D
    n.
  5. E
    -n/2.
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Resolução comentada

Primeiro, calculamos cada variação separadamente.

  1. Para os números quadrados: \Delta Q = Q_{n+1} - Q_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n+1.

  2. Para os números triangulares: T_{n+1} = 1+2+\ldots+n+(n+1) = T_n + (n+1). Logo, \Delta T = T_{n+1} - T_n = n+1.

  3. Agora, a diferença:

\Delta Q - \Delta T = (2n+1) - (n+1) = n

Conferindo com valores: para n=1, \Delta Q = 4-1 = 3 e \Delta T = 3-1 = 2, e a diferença é 1 = n. Para n=2, \Delta Q = 9-4 = 5 e \Delta T = 6-3 = 3, e a diferença é 2 = n. Os valores batem com a expressão encontrada.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A(n^2-n)/2 não resulta da diferença; confunde com o termo geral de outra sequência, sem valer nem para n=2 (daria 1, e não 2).
  • Bn^2-n dá 0 para n=1, mas a diferença real é 1.
  • Cn+1 é apenas \Delta T, sem subtrair de \Delta Q.
  • E-n/2 é negativo, mas \Delta Q é sempre maior que \Delta T; não corresponde a nenhum valor calculado.

Assunto: Sequências e padrões.

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Fonte: UFG 2027 · Vespertino. Prova oficial ↗