Questão 37 da UFG 2027

Question

Um sistema de alarme que está instalado no piso de um corredor retangular é formado por uma malha quadrangular tendo 3 colunas e N linhas de quadrados. Uma pessoa sabe que, em cada linha, um único quadrado não ativa o alarme e os outros dois ativam. Essa pessoa deve atravessar a malha pisando exatamente em um quadrado de cada linha. Ela escolhe, em cada linha, ao acaso, um quadrado para pisar de modo que cada escolha seja independente das demais. O valor mínimo de N para que a probabilidade de essa pessoa atravessar a malha sem disparar o alarme seja menor que 0{,}00001 é de

A
11.
B
10.
C
9.
D
8.
E
6.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 37 da UFG 2027

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Um sistema de alarme que está instalado no piso de um corredor retangular é formado por uma malha quadrangular tendo 3 colunas e N linhas de quadrados. Uma pessoa sabe que, em cada linha, um único quadrado não ativa o alarme e os outros dois ativam. Essa pessoa deve atravessar a malha pisando exatamente em um quadrado de cada linha. Ela escolhe, em cada linha, ao acaso, um quadrado para pisar de modo que cada escolha seja independente das demais. O valor mínimo de N para que a probabilidade de essa pessoa atravessar a malha sem disparar o alarme seja menor que 0{,}00001 é de

A
11.
B
10.
C
9.
D
8.
E
6.

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Resolução comentada

Em cada linha há 3 quadrados e só 1 deles não ativa o alarme. Escolhendo ao acaso, a probabilidade de acertar o quadrado seguro em uma linha é \frac{1}{3}.

Como as escolhas são independentes, a probabilidade de acertar em todas as N linhas é o produto das probabilidades de cada linha:

P=\left(\frac{1}{3}\right)^N=\frac{1}{3^N}

Queremos P<0{,}00001=10^{-5}, isto é:

\frac{1}{3^N}<\frac{1}{100\,000}\iff 3^N>100\,000

Agora é só testar as potências de 3:

3^8=6\,561 (não basta)
3^9=19\,683 (não basta)
3^{10}=59\,049 (não basta)
3^{11}=177\,147 (maior que 100\,000)

Logo, o menor N que satisfaz a condição é 11. Com N=10, a probabilidade seria \frac{1}{59\,049}\approx 0{,}0000169, ainda maior que 0{,}00001.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BCom N = 10, 3^10 = 59 049 e a probabilidade é cerca de 0,0000169, ainda maior que 0,00001.
CCom N = 9, 3^9 = 19 683 e a probabilidade é cerca de 0,00005, bem acima do limite.
DCom N = 8, 3^8 = 6 561 e a probabilidade é cerca de 0,00015, acima do limite.
ECom N = 6, 3^6 = 729 e a probabilidade é cerca de 0,0014, muito acima do limite.

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Questão 37 no caderno Vespertino da UFG 2027

Fonte: UFG 2027 · Vespertino. Prova oficial ↗