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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 36 da UFG 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Um agricultor deseja instalar dois pontos de irrigação, \text{P}_1 e \text{P}_2, em uma horta plana. As alturas em relação ao solo desses pontos são a_1 e a_2, respectivamente. Considere que as áreas irrigadas por esses pontos são as bases dos cones circulares retos \text{C}_1, \text{C}_2, com vértices \text{P}_1 e \text{P}_2, respectivamente, que não se intersectam. Nesses cones, as medidas dos ângulos entre cada eixo e a respectiva geratriz são iguais.

A razão da área de cobertura de irrigação de \text{P}_1 pela área de cobertura de \text{P}_2, em função de a_1 e a_2, é dada pela expressão

  1. A
    \left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^2
  2. B
    \dfrac{a_1}{a_2}
  3. C
    \dfrac{a_2}{a_1}
  4. D
    \left(\dfrac{a_2}{a_1}\right)^2
  5. E
    \dfrac{{a_1}^2}{a_2}
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Resolução comentada

O cone tem vértice no ponto de irrigação, altura a (distância do vértice ao solo) e base circular no solo, que é a área irrigada. O ângulo \theta entre o eixo e a geratriz é o mesmo nos dois cones.

  1. No triângulo retângulo formado pela altura a, pelo raio r da base e pela geratriz, o ângulo \theta fica no vértice, oposto ao raio. Logo:
\tg\theta=\frac{r}{a}\ \Rightarrow\ r=a\,\tg\theta
  1. A área irrigada é a área do círculo da base:
A=\pi r^2=\pi a^2\tg^2\theta
  1. Para os dois pontos, com o mesmo \theta:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{\pi a_1^2\tg^2\theta}{\pi a_2^2\tg^2\theta}=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2

Os cones são semelhantes (mesmo ângulo, ambos retos). A razão entre as áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança, que aqui é a_1/a_2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa a razão linear das alturas, esquecendo que área depende do quadrado do raio.
  • Cinverte a razão e também não eleva ao quadrado.
  • Deleva ao quadrado, mas inverte a razão: seria A_2/A_1.
  • Eeleva só o numerador ao quadrado, expressão sem sentido geométrico.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Cone e tronco de cone.

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Fonte: UFG 2026 · Vespertino. Prova oficial ↗