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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 (1º semestre) da UFG 2014

1º semestre · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Com o objetivo de prevenir assaltos, o dono de uma loja irá instalar uma câmera de segurança. A figura a seguir representa uma planta baixa da loja, sendo que a câmera será instalada no ponto C e as áreas hachuradas representam os locais não cobertos por essa câmera.

Planta baixa da loja na forma de um polígono não convexo com ângulos retos em todos os vértices. A parede superior mede 7 m e tem o ponto C na extremidade direita. A partir de C, a parede direita desce 3 m, vira para a esquerda por 2 m e desce 1 m. A parede inferior tem 5 m de comprimento até o canto inferior esquerdo. Na lateral esquerda, partindo do canto superior esquerdo, a parede desce 1 m, entra para a direita 1,5 m, desce 1,5 m, volta para a esquerda 1,5 m e desce até o canto inferior esquerdo. Duas linhas pontilhadas partem de C tangenciando os cantos internos, formando dois triângulos retângulos hachurados (sombreados de cinza) que representam áreas não cobertas: um à esquerda (com cateto horizontal superior de 1,5 m e ângulo agudo alfa adjacente a esse cateto) e outro na parte inferior direita (com cateto vertical direito de 1 m).

De acordo com essas informações, a área a ser coberta pela câmera representa, aproximadamente,

  1. A
    90{,}90\% da área total da loja.
  2. B
    91{,}54\% da área total da loja.
  3. C
    95{,}45\% da área total da loja.
  4. D
    96{,}14\% da área total da loja.
  5. E
    97{,}22\% da área total da loja.
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Resolução comentada

Coloque a origem no canto inferior esquerdo. A parede inferior vai de x = 0 até x = 5. A parede superior mede 7 m e fica na altura y = 1 + 1,5 + 1,5 + ... vamos achar a altura total: a lateral esquerda desce 1 + 1,5 = 2,5 m até o degrau, e o último trecho vai até o chão. A lateral direita desce 3 m de C e depois 1 m, então a altura total é 4 m. Logo a lateral esquerda tem 1 + 1,5 + 1,5 = 4 m, o que confere. Então C = (7, 4).

Área total da loja:

  1. Retângulo 7 × 4 = 28.
  2. Retiramos o recorte direito inferior: 2 m × 1 m... na verdade o canto inferior direito tem largura 2 e altura 3 (de y = 0 a y = 1 está recuado), resultando em retirar 2 × 3 = 6. Resta 22.
  3. Retiramos o recorte esquerdo: largura 1,5 e altura 1,5 (entre y = 1,5 e y = 3), mais a faixa de 1 m... recorte: 1,5 × 1,5 = 2,25. Resta 22 − 2,25 = 19,75.

A conferência pelo desenho dá área total 19,75 m².

Áreas não cobertas:

  • Triângulo esquerdo: o canto interno está em (1,5; 1,5) e C = (7; 4). A inclinação é 2,5/5,5 = 5/11. Prolongando até x = 0, a reta desce 1,5 · 5/11 = 7,5/11 m. O triângulo tem catetos 1,5 e 7,5/11, e área ½ · 1,5 · 7,5/11 ≈ 0,511.
  • Triângulo inferior: o canto interno está em (5; 1) e C = (7; 4), inclinação 3/2. Até y = 0 a reta recua 1 · 2/3 = 2/3 m. O triângulo tem catetos 1 e 2/3, e área ½ · 2/3 = 1/3 ≈ 0,333.

Área não coberta ≈ 0,511 + 0,333 = 0,844.

Cobertura: (19,75 − 0,844)/19,75 ≈ 0,9573, ou seja, cerca de 95,7%. O valor mais próximo entre as opções é 95,45%.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubestima a cobertura, descontando áreas maiores que as dos dois triângulos.
  • BResulta de erro nos catetos dos triângulos, descontando área demais.
  • DFica acima do valor obtido, o que ocorre ao subestimar um dos triângulos sombreados.
  • EIgnora parte da área não coberta, superestimando a cobertura.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Porcentagem.

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Ver como caiu na prova Questão 30 no caderno 1ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2014 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗