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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 (2º semestre) da UFG 2012

2º semestre · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos.

Triângulo retângulo de base 6, altura 8 e hipotenusa 10. O ângulo agudo à esquerda está dividido em dois: a porção inferior mede 30° e a superior é indicada pela letra grega alfa.

O seno do ângulo indicado por \alpha na figura vale:

  1. A
    \dfrac{4\sqrt{3} - 3}{10}
  2. B
    \dfrac{4 - \sqrt{3}}{10}
  3. C
    \dfrac{4 - 3\sqrt{3}}{10}
  4. D
    \dfrac{4 + 3\sqrt{3}}{10}
  5. E
    \dfrac{4\sqrt{3} + 3}{10}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O ângulo agudo à esquerda do triângulo maior, que chamo de \theta, é formado por \alpha e pelos 30^\circ. Então \alpha = \theta - 30^\circ, e podemos usar a fórmula do seno da diferença:

\sen(\theta - 30^\circ) = \sen\theta\cos 30^\circ - \cos\theta\,\sen 30^\circ
  1. No triângulo retângulo de catetos 6 e 8 e hipotenusa 10, \theta é o ângulo oposto ao cateto de 8 e adjacente ao cateto de 6.
  2. Logo \sen\theta = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} e \cos\theta = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}.
  3. Valores notáveis: \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sen 30^\circ = \dfrac{1}{2}.
  4. Substituindo:
\sen\alpha = \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{10} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{4\sqrt{3} - 3}{10}

O sinal negativo aparece porque estamos subtraindo ângulos, e não somando.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem soma os termos em vez de subtrair, esquecendo que \alpha=\theta-30^\circ.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErra a distribuição dos valores notáveis e perde o fator 3 ou 4 junto do radical.
  • CColoca o \sqrt{3} junto do 3, trocando os valores de seno e cosseno de \theta.
  • DTroca os papéis de seno e cosseno de \theta e soma em vez de subtrair.
  • EUsa a fórmula do seno da soma, \sen(\theta+30^\circ), em vez da diferença.

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Ver como caiu na prova Questão 23 no caderno 1ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2012 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗