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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 da UFG 2007

Prova objetiva · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

No trapézio ABCD abaixo, o segmento AB mede a, o segmento DC mede b, M é o ponto médio de AD e N é o ponto médio de BC.

Trapézio ABCD com base maior AB medindo a, base menor DC medindo b, e segmento MN conectando os pontos médios M do lado AD e N do lado BC.

Nestas condições, a razão entre as áreas dos trapézios MNCD e ABNM é igual a

  1. A
    \dfrac{a + 2b}{3a + b}
  2. B
    \dfrac{a + 3b}{2a + b}
  3. C
    \dfrac{a + 3b}{3a + b}
  4. D
    \dfrac{a + 2b}{2a + b}
  5. E
    \dfrac{3a + 2b}{2a + 3b}
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Resolução comentada

Use a base média: MN une os pontos médios dos lados não paralelos, então é paralela às bases e mede a média delas:

MN=\frac{a+b}{2}

Como M e N são pontos médios, a altura do trapézio ABCD, que chamamos de h, fica dividida ao meio. Os dois trapézios menores têm altura \dfrac{h}{2}.

Área de MNCD (bases b e \frac{a+b}{2}):

A_1=\frac{1}{2}\left(b+\frac{a+b}{2}\right)\frac{h}{2}=\frac{h}{2}\cdot\frac{a+3b}{4}

Área de ABNM (bases a e \frac{a+b}{2}):

A_2=\frac{1}{2}\left(a+\frac{a+b}{2}\right)\frac{h}{2}=\frac{h}{2}\cdot\frac{3a+b}{4}

A razão, com os fatores comuns cancelados:

\frac{A_1}{A_2}=\frac{a+3b}{3a+b}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra a soma das bases de MNCD: usa a+2b em vez de a+3b (esquece de somar b com \frac{a+b}{2} corretamente).
  • BAcerta o numerador, mas o denominador 2a+b não corresponde à soma das bases a+\frac{a+b}{2}, que dá 3a+b.
  • DNão corresponde às somas das bases dos dois trapézios; ignora que MN é a média de a e b.
  • EMistura coeficientes sem derivar das bases; não resulta das áreas calculadas.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 30 no caderno 1ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2007 · 1ª etapa. Prova oficial ↗