Questão 35 da UFG 2004

Question

A matemática grega, sintetizada nos “Elementos” de Euclides (300 a. C.), não conhecia números irracionais. No entanto, Euclides provou que as áreas de dois círculos estão entre si como os quadrados dos seus diâmetros. Se considerarmos dois círculos de raios r_1 e r_2 e áreas A_1 e A_2, respectivamente, a relação provada por Euclides pode ser escrita como:

A
\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{r_1}{r_2}
B
\dfrac{A_1}{A_2} = \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2
C
\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{r_1^2}{r_2}
D
\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{r_1}{r_2^2}
E
\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)^2 = \dfrac{r_1}{r_2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 35 da UFG 2004

Prova objetiva · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

A matemática grega, sintetizada nos “Elementos” de Euclides (300 a. C.), não conhecia números irracionais. No entanto, Euclides provou que as áreas de dois círculos estão entre si como os quadrados dos seus diâmetros. Se considerarmos dois círculos de raios r_1 e r_2 e áreas A_1 e A_2, respectivamente, a relação provada por Euclides pode ser escrita como:

A
\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{r_1}{r_2}
B
\dfrac{A_1}{A_2} = \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2
C
\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{r_1^2}{r_2}
D
\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{r_1}{r_2^2}
E
\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)^2 = \dfrac{r_1}{r_2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Euclides provou que a razão entre as áreas de dois círculos é igual à razão entre os quadrados dos diâmetros. Basta traduzir isso para os raios.

O diâmetro é o dobro do raio: d_1 = 2r_1 e d_2 = 2r_2.

A relação de Euclides, escrita com diâmetros, é:

\frac{A_1}{A_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}

Substituindo d_1 = 2r_1 e d_2 = 2r_2:

\frac{A_1}{A_2} = \frac{(2r_1)^2}{(2r_2)^2} = \frac{4r_1^2}{4r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2

Conferindo com a fórmula da área, A = \pi r^2:

\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2

O resultado é o mesmo, e o \pi se cancela. Por isso Euclides conseguia enunciar a relação sem conhecer números irracionais.

A razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os raios (ou entre os diâmetros).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa a razão simples entre os raios, sem elevar ao quadrado.
Celeva ao quadrado apenas o raio do numerador.
Deleva ao quadrado apenas o raio do denominador.
Eeleva ao quadrado a razão das áreas, em vez da razão dos raios.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 35 no caderno 1ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2004 · 1ª etapa. Prova oficial ↗