Questão 6 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Um cubo de gelo de massa M, densidade \rho_{\text{g}} e de aresta L flutua em um copo de água de densidade \rho_{\text{a}}, com \rho_{\text{a}} > \rho_{\text{g}}. Considerando o exposto, calcule:

a) a razão entre a altura h da porção de gelo que fica fora da água e L; (2,0 pontos)

b) a razão entre a altura h da porção de gelo que fica fora da água e L, quando uma mosca de massa m pousa delicadamente no centro do cubo de gelo, em função de \rho_{\text{a}}, \rho_{\text{g}}, m e M. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 2º dia · Física: Empuxo e princípio de Arquimedes

Um cubo de gelo de massa M, densidade \rho_{\text{g}} e de aresta L flutua em um copo de água de densidade \rho_{\text{a}}, com \rho_{\text{a}} > \rho_{\text{g}}. Considerando o exposto, calcule:

a) a razão entre a altura h da porção de gelo que fica fora da água e L; (2,0 pontos)

b) a razão entre a altura h da porção de gelo que fica fora da água e L, quando uma mosca de massa m pousa delicadamente no centro do cubo de gelo, em função de \rho_{\text{a}}, \rho_{\text{g}}, m e M. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Para o sistema em equilíbrio, a força resultante é nula.

a) As forças que atuam sobre o cubo de gelo são a força peso e o empuxo:

Mg=F_{empuxo} \rightarrow Mg=\rho_a V_{deslocado} g \rightarrow M=\rho_a V_{deslocado} .

Sendo M=\rho_g L^3 e V_{deslocado}=L^2(L-h) , tem-se \rho_g L^3=\rho_a L^2(L-h) \rightarrow \rho_g L=\rho_a L-\rho_a h .

Portanto, \frac{h}{L}=1-\frac{\rho_g}{\rho_a} .

(2,0 pontos)

b) As forças que atuam nessa situação são as forças peso do cubo de gelo e do inseto e o empuxo:

Mg+mg=F_{empuxo} \rightarrow (M+m)g=\rho_a V_{deslocado} g \rightarrow M+m=\rho_a V_{deslocado} . Sendo M=\rho_g L^3 e V_{deslocado}=L^2(L-h) , tem-se \rho_g L^3+m=\rho_a L^2(L-h) \rightarrow \rho_g L^3+m=\rho_a L^3-\rho_a L^2 h . Dividindo os dois membros da igualdade por L^3, obtém-se \rho_g+\frac{m}{L^3}=\rho_a-\rho_a \frac{h}{L} , ou seja, \rho_a \frac{h}{L}=\rho_a-\rho_g-\frac{m}{L^3} \rightarrow \frac{h}{L}=1-\frac{\rho_g}{\rho_a}-\frac{m}{\rho_a L^3} . Expressando L^3 em termos de \rho_g e M, conclui-se finalmente que \frac{h}{L}=1-\frac{\rho_g}{\rho_a}\left(1+\frac{m}{M}\right) .

(3,0 pontos)

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O cubo está em equilíbrio, então o empuxo equilibra o peso. Seja L-h a altura submersa. O volume de água deslocada é L^2(L-h).

Como M=\rho_g L^3:

\rho_a\, g\, L^2 (L-h)=M g=\rho_g\, g\, L^3

Cancelando g e L^2:

L-h=\frac{\rho_g}{\rho_a}L \;\Rightarrow\; \frac{h}{L}=1-\frac{\rho_g}{\rho_a}

Como \rho_a>\rho_g, o resultado é positivo, o que concorda com o fato de o gelo flutuar.

\dfrac{h}{L}=1-\dfrac{\rho_g}{\rho_a}

b) A mosca pousa "delicadamente", sem impacto. O sistema volta ao equilíbrio com o cubo mais afundado, a uma nova altura emersa h'. O empuxo agora sustenta o peso do gelo mais o da mosca:

\rho_a\, g\, L^2 (L-h')=(M+m)g

Para eliminar L, use L^3=\dfrac{M}{\rho_g}:

\frac{L-h'}{L}=\frac{M+m}{\rho_a L^3}=\frac{\rho_g\,(M+m)}{\rho_a\, M}

Logo:

\frac{h'}{L}=1-\frac{\rho_g}{\rho_a}\left(1+\frac{m}{M}\right)

Para m=0 volta-se ao item (a), o que confere o resultado.

\dfrac{h'}{L}=1-\dfrac{\rho_g\,(M+m)}{\rho_a\, M}

Assuntos: Empuxo e princípio de Arquimedes, Densidade e pressão.

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Questão 6 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗