Questão 5 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Um capacitor de placas paralelas é semipreenchido por um líquido dielétrico de constante dielétrica \kappa = 2. Para otimizar o armazenamento de energia, um técnico resolve medir a capacitância do capacitor deitado e em pé, conforme ilustrado na figura a seguir.

Considerando o exposto, determine:

a) uma expressão para a capacitância de cada um dos capacitores nas situações ilustradas nas figuras (a) e (b); (3,0 pontos)

b) o valor numérico da razão entre as capacitâncias das situações ilustradas nas figuras (a) e (b) respectivamente, considerando que a razão H/h = 3. (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 2º dia · Física: Capacitores

Um capacitor de placas paralelas é semipreenchido por um líquido dielétrico de constante dielétrica \kappa = 2. Para otimizar o armazenamento de energia, um técnico resolve medir a capacitância do capacitor deitado e em pé, conforme ilustrado na figura a seguir.

Considerando o exposto, determine:

a) uma expressão para a capacitância de cada um dos capacitores nas situações ilustradas nas figuras (a) e (b); (3,0 pontos)

b) o valor numérico da razão entre as capacitâncias das situações ilustradas nas figuras (a) e (b) respectivamente, considerando que a razão H/h = 3. (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Para o capacitor na situação (a), tem-se uma associação em série de capacitores, assim:

C_{eq}^{(a)}=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}=\frac{\frac{\kappa\cdot\epsilon_0\cdot A}{h}\cdot\frac{\epsilon_0\cdot A}{(H-h)}}{\frac{\kappa\cdot\epsilon_0\cdot A}{h}+\frac{\epsilon_0\cdot A}{(H-h)}}=\frac{\kappa\cdot(\epsilon_0\cdot A)^2}{h\cdot(H-h)}\cdot\frac{h\cdot(H-h)}{\epsilon_0\cdot A[\kappa\cdot(H-h)+h]}=\frac{\kappa\cdot\epsilon_0\cdot A}{\kappa\cdot(H-h)+h}=\frac{\kappa\cdot\epsilon_0\cdot w\cdot L}{\kappa\cdot(H-h)+h}

Para o capacitor na situação (b), tem-se uma associação em paralelo de capacitores, assim:

C_{eq}^{(b)}=C_1+C_2=\frac{\kappa\cdot\epsilon_0\cdot w\cdot l}{H}+\frac{\epsilon_0\cdot w\cdot(L-l)}{H}=\frac{\epsilon_0\cdot w[\kappa\cdot l+L-l]}{H}=\frac{\epsilon_0\cdot w\cdot[L+l\cdot(\kappa-1)]}{H}

(3,0 pontos)

b) A razão entre as capacitâncias equivalentes da situação (a) e (b) é:

\frac{C_{eq}^{(a)}}{C_{eq}^{(b)}}=\frac{\kappa\cdot\epsilon_0\cdot w\cdot L}{\kappa\cdot(H-h)+h}\cdot\frac{H}{\epsilon_0\cdot w\cdot[L+l\cdot(\kappa-1)]}=\frac{\kappa\cdot H\cdot L}{[\kappa\cdot(H-h)+h]\cdot[L+l\cdot(\kappa-1)]}

Como o volume do líquido em ambas as configurações é o mesmo, tem-se que:

V^{(a)}=V^{(b)} \quad \rightarrow \quad h\cdot L\cdot w=H\cdot l\cdot w \quad \rightarrow \quad \frac{H}{h}=\frac{L}{l}=x=3

segue então que:

\frac{C_{eq}^{(a)}}{C_{eq}^{(b)}}=\frac{\kappa\cdot H\cdot L}{h\cdot[\kappa\cdot(H/h-1)+1]\cdot l\cdot[L/l+1\cdot(\kappa-1)]}=\frac{\kappa\cdot x^2}{[\kappa\cdot(x-1)+1]\cdot[x+\kappa-1]}=\frac{2\cdot 9}{5\cdot 4}=0{,}9

(2,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Em cada configuração o capacitor se divide em duas partes, uma com líquido (constante \kappa=2) e outra com ar (\kappa\approx1). A capacitância de placas paralelas é C=\kappa\varepsilon_0 A/d.

(a) Deitado. O líquido forma uma camada de espessura h e o ar ocupa H-h. Cada camada cobre toda a área Lw, então as duas capacitâncias estão em série:

C_\text{líq}=\frac{2\varepsilon_0 Lw}{h},\qquad C_\text{ar}=\frac{\varepsilon_0 Lw}{H-h}

\frac{1}{C_a}=\frac{h}{2\varepsilon_0 Lw}+\frac{H-h}{\varepsilon_0 Lw}=\frac{2H-h}{2\varepsilon_0 Lw}

C_a=\frac{2\varepsilon_0 Lw}{2H-h}

(b) Em pé. As placas têm altura L e largura w, e a distância entre elas é H. O líquido cobre a parte da placa até a altura \ell e o ar cobre a parte restante, L-\ell. As duas partes estão sujeitas à mesma tensão, então estão em paralelo:

C_b=\frac{2\varepsilon_0 w\ell}{H}+\frac{\varepsilon_0 w(L-\ell)}{H}=\frac{\varepsilon_0 w(L+\ell)}{H}

Respostas: C_a=\dfrac{2\varepsilon_0 Lw}{2H-h} e C_b=\dfrac{\varepsilon_0 w(L+\ell)}{H}.

b) O mesmo líquido é usado nas duas situações, então o volume dele é igual. Na figura (a) o volume é Lwh e na (b) é Hw\ell:

Lwh=Hw\ell\;\Rightarrow\;\ell=\frac{Lh}{H}=\frac{L}{3}\quad(\text{pois } H/h=3)

Substituindo h=H/3 em C_a:

C_a=\frac{2\varepsilon_0 Lw}{2H-H/3}=\frac{6\varepsilon_0 Lw}{5H}

Substituindo \ell=L/3 em C_b:

C_b=\frac{\varepsilon_0 w\,(4L/3)}{H}=\frac{4\varepsilon_0 Lw}{3H}

A razão entre elas é:

\frac{C_a}{C_b}=\frac{6/5}{4/3}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}

C_a/C_b=0{,}9

Assunto: Capacitores.

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Questão 5 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗