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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

1º semestre · 2º dia · Física: Refração da luz e lei de Snell

Em muitos materiais transparentes, o índice de refração n do material varia em função do comprimento de onda \lambda da luz incidente, de acordo com o gráfico a seguir.

Gráfico do índice de refração n em função do comprimento de onda lambda, apresentando uma curva decrescente que vai de n_violeta para lambda_violeta até n_vermelho para lambda_vermelho.

Parâmetros conhecidos:
D
\text{sen } \theta_{\text{i}}
n_{\text{ar}}
n_{\text{vermelho}}
n_{\text{violeta}}
c: velocidade da luz no vácuo

Considere um feixe estreito de luz branca incidindo do ar, com ângulo de incidência \theta_i , sobre um material transparente de espessura D, conforme a figura a seguir.

Feixe estreito de luz incidente no ponto B da interface superior de uma placa de espessura D e índice de refração n(lambda), imersa em ar com índice n_ar. O ângulo de incidência com a reta normal pontilhada AB é theta_i.

Considerando o exposto, determine, em função dos parâmetros conhecidos:

a) o seno do ângulo de refração da cor visível que, dentro do material, sofrerá o maior desvio em relação ao feixe incidente; (2,0 pontos)

b) a cor visível que terá a maior velocidade de propagação dentro do material e o tempo que ela levará para atravessá-lo. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Da lei de Snell, tem-se n_{\text{ar}} \cdot \sen\theta_i = n_\lambda \cdot \sen\theta_\lambda \rightarrow \sen\theta_\lambda = \frac{n_{\text{ar}}}{n_\lambda} \cdot \sen\theta_i. A cor que sofre o maior desvio é aquela que possui o menor ângulo de refração. De acordo com a equação apresentada, o menor ângulo corresponde ao maior índice de refração que, conforme o gráfico, é o violeta. Assim, tem-se:

\sen\theta_{\text{violeta}} = \frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{violeta}}} \cdot \sen\theta_i

(2,0 pontos)

OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados.

b) Como n = \frac{c}{v} \rightarrow v = \frac{c}{n} então a componente cuja cor possui maior velocidade é a de menor índice de refração, que, de acordo com o gráfico, é a vermelha. Tem-se ainda que v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{c}{n} \rightarrow \Delta t = \frac{n_{\text{vermelho}} \cdot l_{\text{vermelho}}}{c}, com l_{\text{vermelho}} sendo a distância percorrida pela componente vermelha da luz dentro do material que, da geometria do problema e da lei de Snell, é:

l_{\text{vermelho}} = \frac{D}{\cos\theta_r} = \frac{D}{\sqrt{1 - \sen^2\theta_r}} = \frac{n_{\text{vermelho}} D}{\sqrt{n_{\text{vermelho}}^2 - n_{\text{ar}}^2 \cdot \sen^2\theta_i}}.

Portanto, tem-se que:

\Delta t = \frac{n_{\text{vermelho}}}{c} \cdot \frac{n_{\text{vermelho}} D}{\sqrt{n_{\text{vermelho}}^2 - n_{\text{ar}}^2 \cdot \sen^2\theta_i}} = \frac{n_{\text{vermelho}}^2 D}{c \cdot \sqrt{n_{\text{vermelho}}^2 - n_{\text{ar}}^2 \cdot \sen^2\theta_i}}

(3,0 pontos)

OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados. Soluções alternativas conceitualmente corretas também foram consideradas. Os itens a) e b) foram pontuados de forma independente.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Pela lei de Snell, n_{ar}\,\text{sen}\,\theta_i = n(\lambda)\,\text{sen}\,\theta_r. O ângulo de incidência é o mesmo para todas as cores. Quanto maior o índice n, menor o ângulo de refração \theta_r e, portanto, maior o desvio em relação à direção do feixe incidente.

Pelo gráfico, o maior índice é o da luz violeta, n_{violeta}, que é a cor mais desviada. Então:

\text{sen}\,\theta_{r,violeta}=\frac{n_{ar}\,\text{sen}\,\theta_i}{n_{violeta}}

Resposta: \text{sen}\,\theta_r = \dfrac{n_{ar}\,\text{sen}\,\theta_i}{n_{violeta}} (luz violeta).

b) A velocidade na placa é v = c/n. A maior velocidade corresponde ao menor índice de refração, que é o da luz vermelha: v_{verm}=c/n_{vermelho}.

Para o tempo, precisamos do caminho percorrido dentro da placa. O raio vai de B até a face inferior com ângulo \theta_r em relação à normal, então o percurso é L = D/\cos\theta_r.

Snell para o vermelho: \text{sen}\,\theta_r = \dfrac{n_{ar}\,\text{sen}\,\theta_i}{n_{vermelho}}.
Então \cos\theta_r=\sqrt{1-\dfrac{n_{ar}^2\,\text{sen}^2\theta_i}{n_{vermelho}^2}}=\dfrac{\sqrt{n_{vermelho}^2-n_{ar}^2\,\text{sen}^2\theta_i}}{n_{vermelho}}.
O tempo é t=\dfrac{L}{v}=\dfrac{D\,n_{vermelho}}{c\,\cos\theta_r}.

Substituindo o cosseno:

t=\frac{n_{vermelho}^2\,D}{c\,\sqrt{n_{vermelho}^2-n_{ar}^2\,\text{sen}^2\theta_i}}

Resposta: luz vermelha, com t=\dfrac{n_{vermelho}^2\,D}{c\sqrt{n_{vermelho}^2-n_{ar}^2\,\text{sen}^2\theta_i}}.

Assuntos: Refração da luz e lei de Snell, Reflexão total e dispersão da luz.

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Questão 4 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗