Questão 3 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Um projeto de propulsão para espaçonaves de longas distâncias é baseado no fenômeno de liberação de energia na aniquilação de um elétron pela sua antipartícula, o pósitron. Sabendo que a massa de cada uma destas duas partículas é igual a 9{,}09 \times 10^{-31}\ \text{kg}, e desconsiderando quaisquer interações gravitacionais, determine:

Dados:
velocidade da luz no vácuo: \text{c} = 3 \times 10^8\ \text{m/s} \text{g} = 10\ \text{m/s}^2

a) o número de pares elétron-pósitron necessários para gerar energia suficiente para se acelerar uma espaçonave de massa 181,8 toneladas do repouso à velocidade de 60.000 m/s, havendo uma eficiência de 50% no processo inteiro; (3,0 pontos)

b) a aceleração constante necessária, em unidades de g, para que se atinja uma velocidade de 0,01% da velocidade da luz no vácuo em 6 min 40 s. (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

1º semestre · 2º dia · Física: Relatividade restrita

Um projeto de propulsão para espaçonaves de longas distâncias é baseado no fenômeno de liberação de energia na aniquilação de um elétron pela sua antipartícula, o pósitron. Sabendo que a massa de cada uma destas duas partículas é igual a 9{,}09 \times 10^{-31}\ \text{kg}, e desconsiderando quaisquer interações gravitacionais, determine:

Dados:
velocidade da luz no vácuo: \text{c} = 3 \times 10^8\ \text{m/s} \text{g} = 10\ \text{m/s}^2

a) o número de pares elétron-pósitron necessários para gerar energia suficiente para se acelerar uma espaçonave de massa 181,8 toneladas do repouso à velocidade de 60.000 m/s, havendo uma eficiência de 50% no processo inteiro; (3,0 pontos)

b) a aceleração constante necessária, em unidades de g, para que se atinja uma velocidade de 0,01% da velocidade da luz no vácuo em 6 min 40 s. (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) A energia necessária para acelerar a espaçonave é: T = M v^2/2. A energia obtida com a aniquilação de N pares elétron-pósitron é dada por: E_p = N_p \times 2 \times mc^2.

Como somente 50% da energia produzida pela aniquilação dos pares é aproveitada, então tem-se que:

T = \frac{1}{2} E_p \quad \rightarrow \quad \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} N_p \cdot 2 \cdot m \cdot c^2 \quad \rightarrow \quad N_p = \frac{1}{2} \frac{M v^2}{m c^2} = \frac{1}{2} \frac{181{,}8 \times 10^3 \cdot 36 \times 10^8}{9{,}09 \times 10^{-31} \cdot 9 \times 10^{16}} = 4 \times 10^{27} \text{ pares.}

(3,0 pontos)

OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados. Soluções alternativas conceitualmente corretas também foram consideradas.

b) Para aceleração constante, o tempo necessário em segundos é: \Delta t = 6 \cdot 60 + 40 = 400\ s ;

a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{3 \times 10^4}{4 \times 10^2}\ m/s^2 = 7{,}5 \times 10\ m/s^2, porém como \text{g} = 10\ \text{m/s}^2, então segue que \frac{a}{g} = 7{,}5.

(2,0 pontos)

OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados. Soluções alternativas conceitualmente corretas também foram consideradas. Os itens a) e b) foram pontuados de forma independente.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Na aniquilação, toda a massa do par vira energia, E = mc^2. Cada par elétron-pósitron tem massa total 2m, então:

E_{par} = 2\cdot 9{,}09\times10^{-31}\cdot (3\times10^8)^2 = 1{,}6362\times10^{-13}\ \text{J}

A energia útil é a cinética final da espaçonave, que parte do repouso. A massa é 181{,}8\ \text{t} = 1{,}818\times10^5\ \text{kg}:

E_c = \frac{1}{2}\cdot 1{,}818\times10^5\cdot(6\times10^4)^2 = 3{,}2724\times10^{14}\ \text{J}

Como a eficiência é de 50%, a energia total liberada precisa ser o dobro da útil:

E_{total} = \frac{3{,}2724\times10^{14}}{0{,}5} = 6{,}5448\times10^{14}\ \text{J}

O número de pares é

N = \frac{6{,}5448\times10^{14}}{1{,}6362\times10^{-13}} = 4\times10^{27}

São necessários 4\times10^{27} pares elétron-pósitron.

b) A velocidade final é 0{,}01\% = 10^{-4} de c:

v = 10^{-4}\cdot 3\times10^8 = 3\times10^4\ \text{m/s}

O tempo é 6\ \text{min}\ 40\ \text{s} = 400\ \text{s}. Em movimento uniformemente variado a partir do repouso, v = at, logo:

a = \frac{3\times10^4}{400} = 75\ \text{m/s}^2

Em unidades de g = 10\ \text{m/s}^2:

a = \frac{75}{10}\,g = 7{,}5\,g

a = 7{,}5\,g (75 m/s²).

Assuntos: Relatividade restrita, Movimento uniformemente variado (MUV).

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Questão 3 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗