Questão 2 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Em 2014, comemoram-se os 450 anos do nascimento de Galileu Galilei. Entre as inúmeras contribuições científicas de Galileu, destaca-se a utilização do telescópio para observações astronômicas. Um dos primeiros telescópios empregados por Galileu, em 1609, era constituído por duas lentes esféricas delgadas convergentes, uma objetiva e uma ocular e, por meio desse instrumento, Galileu conseguiu observar as crateras da Lua. Considerando o exposto, determine:

a) a distância focal da objetiva, considerando que o valor absoluto do fator de ampliação angular desse telescópio era 15 e que a distância focal da ocular era 9 cm;

(2,0 pontos)

b) o tamanho angular, em graus, de uma cratera lunar vista por Galileu com o olho próximo da ocular, considerando que a distância entre a Terra e a Lua é de aproximadamente 384000 km e que o diâmetro da cratera é cerca de 2400 km. Utilize a aproximação \operatorname{tg}\theta \approx \theta para ângulos pequenos (em radianos).

(3,0 pontos)

Dado:
\pi \approx 3

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 2º dia · Física: Óptica da visão e instrumentos ópticos

Em 2014, comemoram-se os 450 anos do nascimento de Galileu Galilei. Entre as inúmeras contribuições científicas de Galileu, destaca-se a utilização do telescópio para observações astronômicas. Um dos primeiros telescópios empregados por Galileu, em 1609, era constituído por duas lentes esféricas delgadas convergentes, uma objetiva e uma ocular e, por meio desse instrumento, Galileu conseguiu observar as crateras da Lua. Considerando o exposto, determine:

a) a distância focal da objetiva, considerando que o valor absoluto do fator de ampliação angular desse telescópio era 15 e que a distância focal da ocular era 9 cm;

(2,0 pontos)

b) o tamanho angular, em graus, de uma cratera lunar vista por Galileu com o olho próximo da ocular, considerando que a distância entre a Terra e a Lua é de aproximadamente 384000 km e que o diâmetro da cratera é cerca de 2400 km. Utilize a aproximação \operatorname{tg}\theta \approx \theta para ângulos pequenos (em radianos).

(3,0 pontos)

Dado:
\pi \approx 3

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Para um telescópio refrator formado por duas lentes convergentes esféricas delgadas, a ampliação angular é dada por \text{A}_\theta= -\ \text{f}_{ob}/\text{f}_{oc}, sendo \text{f}_{cb} e \text{f}_{oc} as distâncias focais das lentes objetiva e ocular, respectivamente. O sinal negativo reflete o fato que a imagem se forma invertida. Portanto,

f_{ob}=|\text{A}_\theta|\cdot f_{oc}=15\cdot 9\text{ cm}=1,35\text{ m}

b) [Figura: Esquema geométrico mostrando um olho observando um disco de diâmetro d a uma distância D sob um ângulo visual subtendido \theta.]

A olho nu, o tamanho ângular \theta da cratera é dado pela relação \text{tg}\,\frac{\theta}{2}=\frac{d/2}{D} , onde d é o diâmetro da cratera e D a distância Terra-Lua, como indicado na figura.

Considerando que para ângulos pequenos vale a relação \text{tg}\,\alpha \approx \alpha , tem-se \frac{\theta}{2}=\frac{d/2}{D} , ou seja, \theta=\frac{d}{D} .

Sendo o fator de ampliação angular \text{A}_\theta, o tamanho ângular percebido por meio do telescópio será:
\theta'= \text{A}_\theta \cdot \theta. Logo \theta'=15\cdot \frac{2400\text{ km}}{384000\text{ km}}=\frac{15}{160}\text{ radianos} . Transformando os radianos em graus, obtém-se:

\theta'=\frac{15}{160}\cdot \frac{180}{\pi}=\frac{15\cdot 18}{16\cdot 3}=\frac{45}{8}=5{,}625\text{ graus.}

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Num telescópio refrator com duas lentes convergentes, a ampliação angular em módulo é a razão entre a distância focal da objetiva e a da ocular:

A=\frac{f_{ob}}{f_{oc}}

Com A=15 e f_{oc}=9\ \text{cm}:

f_{ob}=A\cdot f_{oc}=15\cdot 9=135\ \text{cm}

Resposta: f_{ob}=135\ \text{cm} (1,35 m).

b) Primeiro calculamos o tamanho angular da cratera visto a olho nu, a partir da Terra. Pela aproximação \operatorname{tg}\theta\approx\theta, ele é a razão entre o diâmetro da cratera e a distância Terra-Lua:

\theta_{0}\approx\frac{2400}{384000}=\frac{1}{160}\ \text{rad}

O telescópio amplia esse ângulo 15 vezes:

\theta=15\,\theta_0=\frac{15}{160}=\frac{3}{32}\ \text{rad}\approx 0{,}094\ \text{rad}

Para converter em graus, usamos \pi\approx 3, de modo que \pi\ \text{rad}=180^\circ equivale a 3\ \text{rad}=180^\circ, ou seja, 1\ \text{rad}=60^\circ:

\theta=\frac{3}{32}\cdot 60^\circ=\frac{180}{32}^\circ\approx 5{,}6^\circ

Conferindo: \theta_0=\frac{60}{160}=0{,}375^\circ, e 15\cdot 0{,}375=5{,}6^\circ.

Resposta: aproximadamente 5{,}6^\circ.

Assuntos: Óptica da visão e instrumentos ópticos, Lentes esféricas.

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Questão 2 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗