Questão 12 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Os peixes da família Toxotidae, pertencentes à ordem dos Perciformes, naturais da Ásia e da Austrália, são encontrados em lagoas e no litoral. Eles são vulgarmente chamados de peixes-arqueiros pela peculiar técnica de caça que utilizam. Ao longo da evolução, tais peixes desenvolveram a extraordinária habilidade de atingir suas presas, geralmente insetos que descansam sobre ramos ou folhas próximos à superfície da água, por meio de um violento jato de água disparado pela boca. Para acertar seus alvos com tais jatos de água, instintivamente os peixes levam em conta tanto a refração da água quanto o ângulo de saída do jato em relação à superfície da água. Conforme o exposto, considere um peixe-arqueiro que aviste um inseto a uma distância d e uma altura h, como indicado na figura.

Esquema mostrando um peixe-arqueiro submerso que dispara um jato d'água sob um ângulo θ com a superfície e velocidade inicial v₀ em direção a um inseto pousado sobre uma folha a uma altura h e distância horizontal d da boca do peixe.

Para os casos em que h = d,

a) calcule a distância horizontal aparente, ou seja, a distância da presa percebida pelo peixe-arqueiro devido à refração, supondo que a água possua um índice de refração n=\sqrt{2} ; (2,0 pontos)

b) determine uma expressão para o módulo da velocidade inicial v_0 do jato de água emitido pelo peixe-arqueiro em função de d e da aceleração da gravidade g, supondo que a velocidade inicial forme um ângulo \theta=60^\circ com a superfície da água. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

1º semestre · 1º dia · Física: Refração da luz e lei de Snell

Os peixes da família Toxotidae, pertencentes à ordem dos Perciformes, naturais da Ásia e da Austrália, são encontrados em lagoas e no litoral. Eles são vulgarmente chamados de peixes-arqueiros pela peculiar técnica de caça que utilizam. Ao longo da evolução, tais peixes desenvolveram a extraordinária habilidade de atingir suas presas, geralmente insetos que descansam sobre ramos ou folhas próximos à superfície da água, por meio de um violento jato de água disparado pela boca. Para acertar seus alvos com tais jatos de água, instintivamente os peixes levam em conta tanto a refração da água quanto o ângulo de saída do jato em relação à superfície da água. Conforme o exposto, considere um peixe-arqueiro que aviste um inseto a uma distância d e uma altura h, como indicado na figura.

Esquema mostrando um peixe-arqueiro submerso que dispara um jato d'água sob um ângulo θ com a superfície e velocidade inicial v₀ em direção a um inseto pousado sobre uma folha a uma altura h e distância horizontal d da boca do peixe.

Para os casos em que h = d,

a) calcule a distância horizontal aparente, ou seja, a distância da presa percebida pelo peixe-arqueiro devido à refração, supondo que a água possua um índice de refração n=\sqrt{2} ; (2,0 pontos)

b) determine uma expressão para o módulo da velocidade inicial v_0 do jato de água emitido pelo peixe-arqueiro em função de d e da aceleração da gravidade g, supondo que a velocidade inicial forme um ângulo \theta=60^\circ com a superfície da água. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

[Figura: Esquema geométrico mostrando a refração na interface ar-água. Na água, um ponto emite um raio luminoso com ângulo de refração \theta_r em relação à reta normal vertical. Ao passar para o ar, o raio se propaga com ângulo \theta_i = 45^\circ até atingir um ponto a uma distância horizontal d além da posição aparente. Uma linha vertical tracejada de comprimento d perpendicular à superfície une a interface a uma linha horizontal no topo, sobre a qual o prolongamento pontilhado da trajetória na água define a distância aparente d_A.]

Da lei de Snell tem-se:
n_{ar} \cdot sen(\theta_i) = n_{\text{água}} \cdot sen(\theta_r) . Note que por construção \theta_i = 45^\circ . Portanto, pode-se escrever

sen(\theta_r) = \frac{n_{ar}}{n_{\text{água}}} \cdot sen(\theta_i) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad \theta_r = 30^\circ \text{ .}

Portanto, da geometria ilustrada na figura tem-se que

d_A = d \cdot tg(\theta_r) = d \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot d

(2,0 pontos)

Também foram consideradas corretas aquelas respostas cuja distância aparente é igual a d, desde que, devidamente justificado.

OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados.

b) As equações que descrevem o movimento do jato d'água imediatamente após sair da água são:
y(t) = v_0 \cdot sen\,\theta \cdot t - \frac{1}{2}\,gt^2 e x(t) = v_0 \cdot \cos\theta \cdot t . Isolando o tempo na segunda equação e substituindo na primeira obtém-se a equação da trajetória y(x) = x \cdot tg\,\theta - \frac{g \cdot x^2}{2 \cdot v_0^2 \cdot \cos^2\theta} . Como o peixe acerta o alvo, isso significa que

y(d) = d \quad \rightarrow \quad d = d \cdot tg\,\theta - \frac{g \cdot d^2}{2 \cdot v_0^2 \cdot \cos^2\theta} \quad \rightarrow \quad d = \frac{2 \cdot (tg\,\theta - 1) \cdot v_0^2 \cdot \cos^2\theta}{g}

v_0 = \sqrt{\frac{d \cdot g}{2 \cdot (tg\,\theta - 1) \cdot \cos^2\theta}} = \sqrt{\frac{2 \cdot d \cdot g}{\sqrt{3} - 1}} = \sqrt{d \cdot g \cdot (\sqrt{3} + 1)}

(3,0 pontos)

OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados. Soluções alternativas conceitualmente corretas também foram consideradas. Os itens a) e b) foram pontuados de forma independente.

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Resolução comentada

a) Como h=d, o inseto está a 45^\circ da vertical (a normal à superfície), pois \tg i = d/h = 1. A luz vai do ar para a água, e o peixe vê o inseto na direção do raio refratado.

Pela lei de Snell, com n_{ar}=1 e n_{água}=\sqrt{2}:

1\cdot \sen 45^\circ=\sqrt{2}\,\sen r \Rightarrow \sen r=\frac{\sqrt2/2}{\sqrt2}=\frac12 \Rightarrow r=30^\circ

Para o peixe, o inseto aparece na direção que faz 30^\circ com a vertical, à mesma altura h. A distância horizontal aparente é então:

d_{ap}=h\,\tg 30^\circ=d\cdot\frac{\sqrt3}{3}\approx 0{,}58\,d

O peixe vê o inseto mais perto do que ele realmente está.

d_{ap}=\dfrac{\sqrt3}{3}\,d

b) Depois que sai da água, o jato é um lançamento oblíquo, sem resistência do ar. Ele parte da origem e passa pelo ponto (d,h)=(d,d).

Horizontal (MU): d=v_0\cos\theta\,t \Rightarrow t=\dfrac{d}{v_0\cos\theta}.
Vertical (MUV): d=v_0\sen\theta\,t-\dfrac{g t^2}{2}.

Substituindo t, obtém-se a equação da trajetória:

d=d\,\tg\theta-\frac{g d^2}{2v_0^2\cos^2\theta}

Com \theta=60^\circ, \tg60^\circ=\sqrt3 e \cos^2 60^\circ=\tfrac14:

d=\sqrt3\,d-\frac{2 g d^2}{v_0^2}\Rightarrow \frac{2gd}{v_0^2}=\sqrt3-1

v_0^2=\frac{2gd}{\sqrt3-1}=\frac{2gd(\sqrt3+1)}{2}=(\sqrt3+1)\,g d

Logo:

v_0=\sqrt{(\sqrt3+1)\,g\,d}\approx 1{,}65\sqrt{g d}

Assuntos: Refração da luz e lei de Snell, Lançamento horizontal e oblíquo.

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Questão 12 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗