Questão 11 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Os campos magnéticos produzidos pelo corpo humano são extremamente tênues, variando tipicamente entre 10^{-15}\text{ T} e 10^{-9}\text{ T}. O neuromagnetismo estuda as atividades cerebrais, registrando basicamente os sinais espontâneos do cérebro e as respostas aos estímulos externos. Para obter a localização da fonte dos sinais, esses registros são feitos em diversos pontos. Na região ativa do cérebro, um pequeno pulso de corrente circula por um grande número de neurônios, o que gera o campo magnético na região ativa. As dificuldades em medir e localizar esse campo são inúmeras.

Dois fios paralelos e inclinados percorridos por correntes i no mesmo sentido. Linhas pontilhadas ligam cada fio a um ponto marcado como Detector. O segmento perpendicular entre os dois fios forma ângulos retos com eles. A altura h vai do ponto médio desse segmento até o detector, fazendo com as retas que vão aos fios ângulos de 60 graus.

Para se compreender essas dificuldades, considere dois fios muito longos e paralelos, os quais são percorridos por correntes de mesma intensidade i, conforme ilustrado no arranjo da figura acima. Desconsidere o campo magnético terrestre. Com base no exposto,

a) calcule o módulo do campo magnético gerado pela corrente de cada fio no ponto em que se encontra o detector, em função de h, i e \mu_0; (2,0 pontos)

b) determine a intensidade da corrente i, em função de h, de \mu_0 e do módulo do campo magnético B medido pelo detector. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

1º semestre · 1º dia · Física: Campo magnético: ímãs e correntes

Os campos magnéticos produzidos pelo corpo humano são extremamente tênues, variando tipicamente entre 10^{-15}\text{ T} e 10^{-9}\text{ T}. O neuromagnetismo estuda as atividades cerebrais, registrando basicamente os sinais espontâneos do cérebro e as respostas aos estímulos externos. Para obter a localização da fonte dos sinais, esses registros são feitos em diversos pontos. Na região ativa do cérebro, um pequeno pulso de corrente circula por um grande número de neurônios, o que gera o campo magnético na região ativa. As dificuldades em medir e localizar esse campo são inúmeras.

Dois fios paralelos e inclinados percorridos por correntes i no mesmo sentido. Linhas pontilhadas ligam cada fio a um ponto marcado como Detector. O segmento perpendicular entre os dois fios forma ângulos retos com eles. A altura h vai do ponto médio desse segmento até o detector, fazendo com as retas que vão aos fios ângulos de 60 graus.

Para se compreender essas dificuldades, considere dois fios muito longos e paralelos, os quais são percorridos por correntes de mesma intensidade i, conforme ilustrado no arranjo da figura acima. Desconsidere o campo magnético terrestre. Com base no exposto,

a) calcule o módulo do campo magnético gerado pela corrente de cada fio no ponto em que se encontra o detector, em função de h, i e \mu_0; (2,0 pontos)

b) determine a intensidade da corrente i, em função de h, de \mu_0 e do módulo do campo magnético B medido pelo detector. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

[Figura: Esquema geométrico com dois condutores retilíneos paralelos percorridos por corrente i, perpendiculares ao plano, separados simetricamente em relação a uma reta vertical de altura h. Do ponto superior partem segmentos pontilhados de comprimento r até cada condutor, formando ângulos de 60° com a linha horizontal entre eles. No ponto superior, representam-se os vetores de campo magnético B_i gerados por cada fio, com ângulo de 30° em relação à linha horizontal tracejada, e o vetor campo magnético resultante B na horizontal obtido pela regra do paralelogramo.]

a) O módulo do campo magnético produzido por um longo fio retilíneo no qual passa uma corrente i é B_i=\frac{\mu_0 i}{2\pi r} , e da geometria do problema tem-se que sen\,60^\circ=\frac{h}{r} \rightarrow r=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot h . Logo, tem-se que

B_i=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}=\frac{\sqrt{3}\mu_0 i}{4\pi h}\ .

(2,0 pontos)

b) O detector mede o campo resultante, o qual, devido à geometria do problema, é dado por B=2\cdot B_i\cdot\cos 30^\circ=B_i\cdot\sqrt{3}=\frac{3\mu_0 i}{4\pi h} . Portanto, isolando a corrente nessa expressão, obtém-se que

i=\frac{4\pi h B}{3\mu_0}\ .

(3,0 pontos)

Critério de correção

OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados.

OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados. Os itens a) e b) foram pontuados de forma independente.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O detector está no plano perpendicular aos fios que contém o segmento entre eles. Por isso a reta de cada fio até o detector é perpendicular ao fio, e sua medida d é a distância usada na lei de Ampère para fio longo.

No triângulo retângulo formado pelo ponto médio do segmento, um dos fios e o detector, o ângulo de 60^\circ fica no fio e h é o cateto oposto a ele:

h = d\,\sen 60^\circ \;\Rightarrow\; d=\frac{h}{\sqrt3/2}=\frac{2h}{\sqrt3}

O campo de um fio longo é B_1=\dfrac{\mu_0 i}{2\pi d}. Substituindo d:

B_1=\frac{\mu_0 i\sqrt3}{4\pi h}

Os dois fios têm a mesma corrente e a mesma distância ao detector, então cada um gera um campo de mesmo módulo.

Resposta: B_1=B_2=\dfrac{\sqrt3\,\mu_0 i}{4\pi h}.

b) O campo de cada fio é perpendicular à reta que liga o fio ao detector. Essas duas retas formam 60^\circ com o segmento entre os fios, então cada campo forma 60^\circ com a vertical (direção de h), ou seja, 30^\circ com a horizontal. Como as correntes têm o mesmo sentido, os dois campos são simétricos em relação à vertical.

As componentes verticais têm sentidos opostos e se cancelam.
As componentes horizontais têm o mesmo sentido e se somam.

O módulo do campo medido é então

B=2B_1\cos 30^\circ=2B_1\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\,B_1

Substituindo B_1 do item (a):

B=\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3\,\mu_0 i}{4\pi h}=\frac{3\mu_0 i}{4\pi h}

Isolando i:

i=\frac{4\pi h B}{3\mu_0}

Resposta: i=\dfrac{4\pi h B}{3\mu_0}.

Assunto: Campo magnético: ímãs e correntes.

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Questão 11 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗