Questão 11 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Para tratar fraturas do fêmur é comumente utilizado um aparato chamado de sistema de tração de Russel, em que uma haste rígida A traciona o fêmur, como esquematizado na figura a seguir. Considere que a perna esteja completamente engessada, que a massa da haste seja desprezível e que as polias e fios sejam ideais.

Para o caso em que a perna esteja orientada horizontalmente, com \beta = 60^\circ e m = 7{,}50\text{ kg}, calcule:

a) o módulo da tração em newtons exercida ao longo da perna, considerando g = 10\text{ m/s}^2;
(2,0 pontos)

b) a massa da perna, considerando que seu comprimento seja L = 1{,}0\text{ m}, que seu centro de massa fique a uma distância de 45\text{ cm} da cabeça do fêmur e que a faixa de suporte esteja colocada a 10\text{ cm} da planta do pé.
(3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 1º dia · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Para tratar fraturas do fêmur é comumente utilizado um aparato chamado de sistema de tração de Russel, em que uma haste rígida A traciona o fêmur, como esquematizado na figura a seguir. Considere que a perna esteja completamente engessada, que a massa da haste seja desprezível e que as polias e fios sejam ideais.

Para o caso em que a perna esteja orientada horizontalmente, com \beta = 60^\circ e m = 7{,}50\text{ kg}, calcule:

a) o módulo da tração em newtons exercida ao longo da perna, considerando g = 10\text{ m/s}^2;
(2,0 pontos)

b) a massa da perna, considerando que seu comprimento seja L = 1{,}0\text{ m}, que seu centro de massa fique a uma distância de 45\text{ cm} da cabeça do fêmur e que a faixa de suporte esteja colocada a 10\text{ cm} da planta do pé.
(3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

[Figura: Esquema do sistema de tração com a perna na horizontal e diagrama de forças: peso da perna Mg atuando no centro de massa a uma distância d_1 da articulação/apoio; faixa de suporte na polia 2 exercendo tração vertical T a uma distância d_2; polia 1 presa ao pé tracionada horizontalmente por dois segmentos de fio sob tensão T, cada um fazendo um ângulo \beta com a linha horizontal; e bloco de massa m sob força peso mg.]

As forças relevantes para a solução do problema estão esquematizadas na figura apresentada.

a) A força peso que atua sobre o bloco de massa m é responsável pela tensão T no fio. Evidentemente, o módulo de T é mg. Ao se decompor, as tensões na polia 1 nas componentes horizontais e verticais, observa-se que as componentes verticais se anulam. Assim, a tração exercida pelo aparato

será

F=2 T\text{ cos}(60^\top)=2 mg\text{ cos}(60^\top)=2\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }7,5\text{ kg}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }10\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\frac{1}{2}=75\text{ N}

b) A condição de equilíbrio, para que a perna não rotacione em torno do ponto de apoio, implica que os momentos das forças peso e tensão, aplicadas à perna, sejam iguais. O centro de massa está situado a uma distância \text{d}_1 = 0,45\text{ m} do ponto de apoio, enquanto a faixa de suporte está situada a uma distância \text{d}_2 = \text{L} - 0,1\text{m} = 0,9\text{ m}. Portanto,

Mgd_1=Td_2 \rightarrow Mgd_1=mgd_2 \rightarrow Md_1=md_2 \rightarrow M=\frac{md_2}{d_1}

Substituindo os valores numéricos, obtém-se finalmente:

M=\frac{md_2}{d_1}=\frac{7,5\text{ kg}\text{ }\text{ }\text{ }0,9\text{ m}}{0,45\text{ m}}=15\text{ kg}\text{ .}

Ver no site da UFG ↗

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Os fios e as polias são ideais e o fio é contínuo. Por isso a tração tem o mesmo valor em todo o fio, igual ao peso do bloco:

T = mg = 7{,}50\cdot 10 = 75\ \text{N}

Na polia móvel, dois trechos do fio puxam para a direita, cada um formando \beta = 60^\circ com a horizontal. As componentes verticais se cancelam, pela simetria. As componentes horizontais se somam e equilibram a força F da haste A, que tem massa desprezível e só transmite essa força:

F = 2T\cos\beta = 2\cdot 75\cdot 0{,}5 = 75\ \text{N}

A haste é horizontal e está alinhada com a perna. Essa força é, portanto, a tração ao longo da perna.

Tração na perna: 75 N

b) A perna está em equilíbrio, então o torque resultante é nulo. Calculamos os torques em relação à cabeça do fêmur, para eliminar a força desconhecida da articulação.

A haste A é horizontal, na direção do eixo da perna. Sua força tem braço nulo e não gera torque.
A faixa de suporte puxa a perna para cima com T = 75\ \text{N}, pois o fio vertical faz parte do mesmo fio contínuo. Ela está a L - 0{,}10 = 0{,}90\ \text{m} da cabeça do fêmur.
O peso Mg da perna atua no centro de massa, a 0{,}45\ \text{m} da cabeça do fêmur.

Igualando os torques, de sentidos opostos:

T\cdot 0{,}90 = Mg\cdot 0{,}45

M = \frac{75\cdot 0{,}90}{10\cdot 0{,}45} = 15\ \text{kg}

Massa da perna: 15 kg

Assuntos: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas, Equilíbrio do ponto material.

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Questão 11 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗