Questão 1 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Para se levar caixas contendo mercadorias ao topo de uma montanha em uma estação de esqui, usa-se um trenó para subir uma rampa cuja inclinação é \theta=30^\circ. O trenó é puxado por um motor e sobe com uma velocidade constante de 7{,}5\text{ m/s}.

Esquema de um plano inclinado de ângulo θ, com um motor no vértice superior puxando um conjunto de caixas por um cabo ao longo da rampa. Uma linha vertical com setas nas duas pontas indica a altura h entre a última caixa e o solo horizontal.

Dado:
g=10\text{ m/s}^2

Em dado instante do transporte de mercadorias, a última caixa se desprende, estando à altura h=5\text{ m}. Considerando que o atrito é desprezível na rampa e que a caixa fica livre a partir do instante em que se solta,

a) desenhe um diagrama contendo as forças que atuam sobre a caixa e determine sua aceleração; (2,0 pontos)

b) calcule o tempo que a caixa levará para retornar à base da rampa. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

1º semestre · 2º dia · Física: Plano inclinado

Para se levar caixas contendo mercadorias ao topo de uma montanha em uma estação de esqui, usa-se um trenó para subir uma rampa cuja inclinação é \theta=30^\circ. O trenó é puxado por um motor e sobe com uma velocidade constante de 7{,}5\text{ m/s}.

Esquema de um plano inclinado de ângulo θ, com um motor no vértice superior puxando um conjunto de caixas por um cabo ao longo da rampa. Uma linha vertical com setas nas duas pontas indica a altura h entre a última caixa e o solo horizontal.

Dado:
g=10\text{ m/s}^2

Em dado instante do transporte de mercadorias, a última caixa se desprende, estando à altura h=5\text{ m}. Considerando que o atrito é desprezível na rampa e que a caixa fica livre a partir do instante em que se solta,

a) desenhe um diagrama contendo as forças que atuam sobre a caixa e determine sua aceleração; (2,0 pontos)

b) calcule o tempo que a caixa levará para retornar à base da rampa. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

[Figura: Diagrama de forças atuando em um bloco sobre um plano inclinado com ângulo de inclinação \theta. A força normal \mathbf{N} é perpendicular à rampa (apontando para cima e para a direita), e a força peso \mathbf{P} aponta na vertical para baixo a partir do centro do bloco, formando um ângulo \theta com a reta tracejada perpendicular à rampa.]

a) O diagrama de forças é mostrado na figura.

A força resultante ao longo da direção da rampa é uma componente da força peso.

ma=mg\operatorname{sen}\theta \rightarrow a=g\operatorname{sen}30^\circ \rightarrow a=\frac{g}{2}=5\ \text{m/s}^2

(2,0 pontos)

OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados.

b) Considerando-se um sistema de referências ao longo da rampa e cuja origem está na base da rampa, a equação de movimento ao longo da rampa será:

x(t)=x_0+v_0\cdot t-\frac{a}{2}\cdot t^2 \rightarrow x(t)=\frac{h}{\operatorname{sen}\theta}+v_0\cdot t-\frac{a}{2}\cdot t^2 \rightarrow x(t)=10+\frac{15}{2}\cdot t-\frac{10}{4}\cdot t^2

Ao retornar à base, tem-se que x(t_f)=0 , logo 0=4+3\cdot t_f-t_f^2 \rightarrow t_f=\frac{1}{2}(3+\sqrt{9+16})\ \text{s}=4,0\ \text{s} .

(3,0 pontos)

Critério de correção
OBSERVAÇÃO: Resultados parciais foram parcialmente pontuados. Soluções alternativas conceitualmente corretas também foram consideradas. Os itens a) e b) foram pontuados de forma independente.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Depois que se solta, a caixa fica sujeita a apenas duas forças, já que o atrito é desprezível e o cabo não a puxa mais:

o peso \vec P, vertical para baixo, aplicado no centro da caixa;
a normal \vec N, perpendicular à rampa e para fora dela.

No diagrama, \vec P aponta para baixo e \vec N forma 30^\circ com a vertical, inclinada para cima.

Decompondo o peso, a componente perpendicular à rampa (P\cos\theta) é equilibrada pela normal. Sobra a componente paralela à rampa, P\,\sen\theta, que aponta para baixo ao longo do plano. Pela 2ª lei de Newton:

ma = mg\,\sen 30^\circ \Rightarrow a = 10\cdot 0{,}5 = 5\ \text{m/s}^2

A aceleração é paralela à rampa e aponta para baixo. Ela vale isso mesmo enquanto a caixa ainda sobe, porque ela só desacelera. Resposta: a = 5\ \text{m/s}^2, paralela à rampa e para baixo.

b) A caixa se solta com a velocidade do trenó, 7{,}5\ \text{m/s} rampa acima. Ela segue subindo até parar e depois desce até a base.

A distância da caixa à base, medida ao longo da rampa, é:

d=\frac{h}{\sen 30^\circ}=\frac{5}{0{,}5}=10\ \text{m}

Tomando a base como origem e o sentido de subida como positivo, o movimento é uniformemente variado, com x_0=10\ \text{m}, v_0=+7{,}5\ \text{m/s} e a=-5\ \text{m/s}^2. Chegar à base significa x=0:

0 = 10 + 7{,}5\,t - 2{,}5\,t^2 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0

As raízes são t=\dfrac{3\pm5}{2}, ou seja, t=4\ \text{s} ou t=-1\ \text{s}. A raiz negativa não tem sentido físico. Resposta: t = 4\ \text{s}.

Assuntos: Plano inclinado, Movimento uniformemente variado (MUV), Leis de Newton e aplicações.

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Questão 1 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗