Questão 5 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Um átomo de césio-137 \left(\ce{^{137}_{55}Cs}\right) sofre um processo de decaimento nuclear que acontece em duas etapas. Na primeira etapa, o \ce{^{137}_{55}Cs} decai para um átomo de bário \left(\ce{^{137}_{56}Ba}\right) , que é instável, liberando uma partícula beta com uma velocidade de 2{,}4 \cdot 10^8\text{ m/s}. Na segunda etapa, o \ce{^{137}_{56}Ba} decai para sua fase estável, liberando radiação gama com uma energia de 0{,}375\text{ MeV}. Considerando-se que a energia e a quantidade de movimento do raio gama estão relacionados por

E_\gamma = p_\gamma c

onde c é a velocidade da luz, calcule:

Dados:
Massa do elétron = 9{,}0 \times 10^{-31}\text{ kg}
\text{c} = 3 \times 10^8\text{ m/s}
1\text{ MeV} = 1{,}6 \times 10^{-13}\text{ J}

a) A quantidade de movimento do átomo \ce{^{137}_{56}Ba} instável, após o primeiro decaimento. (2,0 pontos)

b) Os valores máximo e mínimo da quantidade de movimento do \ce{^{137}_{56}Ba} estável, após o segundo decaimento. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

1º semestre · 2º dia · Física: Impulso e quantidade de movimento

Um átomo de césio-137 \left(\ce{^{137}_{55}Cs}\right) sofre um processo de decaimento nuclear que acontece em duas etapas. Na primeira etapa, o \ce{^{137}_{55}Cs} decai para um átomo de bário \left(\ce{^{137}_{56}Ba}\right) , que é instável, liberando uma partícula beta com uma velocidade de 2{,}4 \cdot 10^8\text{ m/s}. Na segunda etapa, o \ce{^{137}_{56}Ba} decai para sua fase estável, liberando radiação gama com uma energia de 0{,}375\text{ MeV}. Considerando-se que a energia e a quantidade de movimento do raio gama estão relacionados por

E_\gamma = p_\gamma c

onde c é a velocidade da luz, calcule:

Dados:
Massa do elétron = 9{,}0 \times 10^{-31}\text{ kg}
\text{c} = 3 \times 10^8\text{ m/s}
1\text{ MeV} = 1{,}6 \times 10^{-13}\text{ J}

a) A quantidade de movimento do átomo \ce{^{137}_{56}Ba} instável, após o primeiro decaimento. (2,0 pontos)

b) Os valores máximo e mínimo da quantidade de movimento do \ce{^{137}_{56}Ba} estável, após o segundo decaimento. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) A quantidade de movimento do átomo instável de Ba_{56} será a mesma quantidade de movimento da partícula beta após do primeiro decaimento:

p_{Ba_{56}} = m_e v_e = 9{,}0 \times 10^{-31} \cdot 2{,}4 \times 10^8 = 2{,}16 \times 10^{-22}\ \text{kg}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$$ (2,0 pontos) **b)** Após o segundo decaimento a quantidade de movimento adquirida pelo átomo estável $Ba_{56}$ estará limitada pelos seus valores máximo e mínimo, de acordo com as seguintes condições: **Máxima:** nesse caso a quantidade de movimento do átomo estável $Ba_{56}$ será a soma de seu valor inicial com a quantidade de movimento da partícula gama: $$p_{Ba_{56}}^{(\text{máx})} = p_{Ba_{56}} + p_\gamma = 2{,}16 \times 10^{-22} + \frac{0{,}375\ \text{MeV}}{3 \times 10^8} \cdot 1{,}6 \times 10^{-13}\ \frac{\text{J}}{\text{MeV}}

p_{Ba_{56}}^{(\text{máx})} = 2{,}16 \times 10^{-22} + 2{,}0 \times 10^{-22} = 4{,}16 \times 10^{-22}\ \text{kg}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

Mínima: nesse caso a quantidade de movimento do átomo estável Ba_{56} será a diferença de seu valor inicial com a quantidade de movimento da partícula gama:

p_{Ba_{56}}^{(\text{mín})} = p_{Ba_{56}} - p_\gamma = 2{,}16 \times 10^{-22} - 2{,}0 \times 10^{-22} = 0{,}16 \times 10^{-22}\ \text{kg}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

(3,0 pontos)

Obs.: foram pontuadas soluções parcialmente corretas e outras soluções fisicamente consistentes.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Antes do decaimento o césio está em repouso, então a quantidade de movimento total é nula. Ela se conserva, e por isso o bário e a partícula beta saem com quantidades de movimento de mesmo módulo e sentidos opostos.

Tratando o elétron de forma não relativística, como o enunciado sugere ao fornecer a massa do elétron:

p_{\beta}=m_e v=9{,}0\cdot10^{-31}\cdot 2{,}4\cdot10^{8}=2{,}16\cdot10^{-22}\ \text{kg·m/s}

Logo, o bário instável tem módulo

p_{Ba}=p_{\beta}=2{,}16\cdot10^{-22}\ \text{kg·m/s}

com sentido oposto ao da partícula beta.

Resposta: p_{Ba}=2{,}16\cdot10^{-22}\ \text{kg·m/s}, em sentido oposto ao do elétron.

b) Primeiro calculamos a quantidade de movimento do fóton gama.

Energia em joules: E_\gamma=0{,}375\cdot1{,}6\cdot10^{-13}=6{,}0\cdot10^{-14}\ \text{J}.
Quantidade de movimento: p_\gamma=\dfrac{E_\gamma}{c}=\dfrac{6{,}0\cdot10^{-14}}{3\cdot10^{8}}=2{,}0\cdot10^{-22}\ \text{kg·m/s}.

No segundo decaimento, a quantidade de movimento se conserva:

\vec p_{Ba,\text{instável}}=\vec p_{Ba,\text{estável}}+\vec p_\gamma

O gama pode ser emitido em qualquer direção, então o resultado depende do ângulo entre os dois vetores.

Máximo: o gama é emitido em sentido oposto ao movimento do bário. O bário estável recua ainda mais e os módulos se somam:

p_{máx}=2{,}16\cdot10^{-22}+2{,}0\cdot10^{-22}=4{,}16\cdot10^{-22}\ \text{kg·m/s}

Mínimo: o gama é emitido no mesmo sentido do movimento do bário. Os módulos se subtraem:

p_{mín}=2{,}16\cdot10^{-22}-2{,}0\cdot10^{-22}=1{,}6\cdot10^{-23}\ \text{kg·m/s}

Resposta: p_{máx}=4{,}16\cdot10^{-22}\ \text{kg·m/s} e p_{mín}=1{,}6\cdot10^{-23}\ \text{kg·m/s}.

Assuntos: Impulso e quantidade de movimento, Radioatividade e meia-vida.

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Questão 5 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗