Questão 3 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Uma montagem experimental, empregando um feixe laser e alguns espelhos, é usada para observar o efeito de interferência construtiva, conforme ilustrado na figura a seguir.

Nesta montagem, um feixe laser incide em um espelho divisor produzindo dois raios. No espelho divisor, de índice de refração n_e=\sqrt{2}, um dos raios é refletido na superfície externa do espelho, enquanto o outro raio atravessa o espelho. Em seguida, após a reflexão em dois outros espelhos totalmente refletores, os raios voltam a se combinar no detector. Para haver interferência construtiva, um compensador (de índice de refração n_c) é utilizado para ajustar a diferença de caminho óptico entre os dois raios. Considerando-se que o ângulo de incidência no espelho divisor é de 45^\circ, determine:

a) A distância percorrida pelo feixe dentro do espelho divisor. (2,0 pontos)

b) A espessura do compensador para que ocorra interferência construtiva no detector. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

1º semestre · 2º dia · Física: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização

Uma montagem experimental, empregando um feixe laser e alguns espelhos, é usada para observar o efeito de interferência construtiva, conforme ilustrado na figura a seguir.

Nesta montagem, um feixe laser incide em um espelho divisor produzindo dois raios. No espelho divisor, de índice de refração n_e=\sqrt{2}, um dos raios é refletido na superfície externa do espelho, enquanto o outro raio atravessa o espelho. Em seguida, após a reflexão em dois outros espelhos totalmente refletores, os raios voltam a se combinar no detector. Para haver interferência construtiva, um compensador (de índice de refração n_c) é utilizado para ajustar a diferença de caminho óptico entre os dois raios. Considerando-se que o ângulo de incidência no espelho divisor é de 45^\circ, determine:

a) A distância percorrida pelo feixe dentro do espelho divisor. (2,0 pontos)

b) A espessura do compensador para que ocorra interferência construtiva no detector. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) A distância percorrida pelo raio dentro do espelho divisor é obtido através da lei de Snell, em que o ângulo de incidência no espelho divisor é 45^\circ, ou seja:

n_{ar}\,sen 45^\circ = n_{espelho}\,sen\,\theta_{refratado} \quad \text{logo,} \quad sen\,\theta_{refratado} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \quad \text{ou seja,} \quad \theta_{refratado} = 30^\circ

Desta forma, a distância percorrida pelo raio dentro do espelho é dado por:

l = \frac{d}{cos 30^\circ} e portanto l = \frac{2\sqrt{3}}{3}d (2,0 pontos)

b) Para que a interferência seja construtiva, o atraso devido à diferença de tempo que a onda levou para percorrer o espelho divisor deve ser compensado pelo atraso que o outro feixe levou para percorrer o material do compensador.

O intervalo de tempo para a luz percorrer a distância \Delta S em um material de índice de refração n é \Delta t = \frac{\Delta S}{v} = \frac{n\Delta S}{c}.

Portanto como os dois atrasos são iguais, temos que \frac{n_e\,\Delta S_e}{c} = \frac{n_{compensador}\,\Delta S_{compensador}}{c}.

Dessa forma, os caminhos ópticos n\Delta S devem ser iguais no espelho divisor e no compensador, segue então

n_e\,l = n_c\,L_{compensador} \rightarrow L_{compensador} = \frac{n_e}{n_c}l = \frac{\sqrt{2}}{n_c}\frac{2\sqrt{3}}{3}d = 2\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{d}{n_c} \quad \text{(3,0 pontos)}

Critério de correção

Obs.: foram pontuadas soluções parcialmente corretas e outras soluções fisicamente consistentes.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Primeiro precisamos do ângulo de refração dentro do espelho divisor. Pela lei de Snell, com o ar de índice 1 e incidência de 45^\circ:

1\cdot \sen 45^\circ = \sqrt{2}\,\sen\theta_r \;\Rightarrow\; \sen\theta_r=\frac{\sqrt2/2}{\sqrt2}=\frac12 \;\Rightarrow\; \theta_r=30^\circ

A placa tem espessura d, medida perpendicularmente às faces. O raio refratado percorre a placa inclinado de 30^\circ em relação à normal. Logo \cos 30^\circ = d/\ell, ou seja:

\ell=\frac{d}{\cos30^\circ}=\frac{d}{\sqrt3/2}=\frac{2d}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}\,d\approx 1{,}15\,d

\ell=\dfrac{2\sqrt3}{3}\,d

b) Os dois raios percorrem trechos iguais no ar, porque o circuito é um retângulo: um sobe e depois vai para a direita, o outro vai para a direita e depois sobe. A diferença de caminho óptico vem só de dois trechos:

o raio transmitido, que atravessa a placa: n_e\,\ell=\sqrt2\cdot\dfrac{2d}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\,d;
o raio refletido, que atravessa o compensador: n_c\,L.

Há interferência construtiva quando a diferença de caminho óptico é um número inteiro de comprimentos de onda:

n_e\,\ell-n_c L=m\lambda,\quad m=0,1,2,\dots

L=\frac{1}{n_c}\left(\frac{2\sqrt6}{3}\,d-m\lambda\right)

O caso mais simples, m=0, é o dos caminhos ópticos iguais, n_cL=n_e\ell:

L=\frac{2\sqrt6\,d}{3\,n_c}

Esse é o resultado que o compensador precisa fornecer. Qualquer outro L que satisfaça a condição geral (com L>0) também dá interferência construtiva.

L=\dfrac{1}{n_c}\left(\dfrac{2\sqrt6}{3}d-m\lambda\right), que para m=0 vale L=\dfrac{2\sqrt6\,d}{3n_c}

Assuntos: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização, Refração da luz e lei de Snell.

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Questão 3 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗