Questão 3 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Um feixe de luz branca é empregado para transmitir sinais de telecomunicação. Para isso, é instalada uma fibra óptica que possui índice de refração para o azul de 1,528 e para o vermelho de 1,513. Considerando-se os raios de luz azul e vermelho e que a distância entre duas cidades quaisquer é de 300 km, determine:

Dado:
c = 3\text{ . }10^8\text{ m/s}

a) o raio de luz que chega primeiro. Justifique; (2,0 pontos)

b) o atraso entre os raios ao percorrerem essa distância. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

2º semestre · 2º dia · Física: Refração da luz e lei de Snell

Um feixe de luz branca é empregado para transmitir sinais de telecomunicação. Para isso, é instalada uma fibra óptica que possui índice de refração para o azul de 1,528 e para o vermelho de 1,513. Considerando-se os raios de luz azul e vermelho e que a distância entre duas cidades quaisquer é de 300 km, determine:

Dado:
c = 3\text{ . }10^8\text{ m/s}

a) o raio de luz que chega primeiro. Justifique; (2,0 pontos)

b) o atraso entre os raios ao percorrerem essa distância. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Como o índice de refração de uma determinada cor é dado por n = \frac{c}{v} = \frac{c \boldsymbol{\cdot} Δ t}{Δ S} \rightarrow Δ t = \frac{n \boldsymbol{\cdot} Δ S}{c}, e sendo Δ S e c os mesmos para ambas as cores, o raio que chega mais rápido é o que possui o menor índice de refração, ou seja, o vermelho.

(2,0 pontos)

b) O atraso deve-se ao fato de que, em um meio material, tanto a velocidade quanto o comprimento de onda dependem do índice de refração do material. Assim, o intervalo de tempo que o raio de cada comprimento de onda leva para percorrer a distância Δ S é:

n = \frac{c}{v} \rightarrow Δ S = \frac{c\ \u0394 t}{n} \rightarrow Δ t = \frac{1}{c} n\ \u0394 S

(3,0 pontos)

Logo, para dois comprimentos de onda distintos tem-se o atraso Δ T:

Δ T = Δ t_{azul} - Δ t_{vermelho} = \frac{Δ S}{c} \cdot (n_{azul} - n_{vermelho}) = \frac{300}{300000} \cdot (1{,}528 - 1{,}513) = 0{,}015 \times 10^{-3} = 1{,}5 \times 10^{-5}\ \text{s}

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Resolução comentada

a) Na fibra, a velocidade da luz é v = \dfrac{c}{n}. Quanto maior o índice de refração, menor a velocidade.

Como n_{azul} = 1{,}528 > n_{vermelho} = 1{,}513, temos v_{azul} < v_{vermelho}. As duas luzes percorrem a mesma distância, então a de maior velocidade leva menos tempo.

Portanto, o raio de luz vermelho chega primeiro, pois tem menor índice de refração e, por isso, maior velocidade na fibra.

b) O tempo de percurso de cada raio é t = \dfrac{L}{v} = \dfrac{nL}{c}, com L = 300\ \text{km} = 3\cdot 10^5\ \text{m} (admitindo que a luz percorra a extensão da fibra).

O atraso é a diferença entre os tempos:

\Delta t = t_{azul} - t_{vermelho} = \frac{L}{c}\,(n_{azul} - n_{vermelho})

\dfrac{L}{c} = \dfrac{3\cdot 10^5}{3\cdot 10^8} = 1\cdot 10^{-3}\ \text{s}
n_{azul} - n_{vermelho} = 1{,}528 - 1{,}513 = 0{,}015
\Delta t = 10^{-3} \cdot 0{,}015 = 1{,}5\cdot 10^{-5}\ \text{s}

Conferindo pelos tempos individuais: t_{azul} = 1{,}528\cdot 10^{-3}\ \text{s} e t_{vermelho} = 1{,}513\cdot 10^{-3}\ \text{s}. A diferença é 0{,}015\cdot 10^{-3}\ \text{s}, o mesmo resultado.

O azul chega com atraso de 1{,}5\cdot 10^{-5}\ \text{s} (15 μs).

Assunto: Refração da luz e lei de Snell.

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Questão 3 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗