Questão 2 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Um esquiador de massa m desce por uma rampa, de altura h, e na parte inferior entra em um loop de raio R, conforme ilustra a figura a seguir.

Esquiador sobre uma rampa que desce de uma altura h até uma superfície horizontal, onde entra em um trilho circular com loop de raio R; o ponto A está localizado na meia altura do loop.

Tendo em vista que no ponto A, a altura R do solo, o módulo da força resultante sobre o esquiador é de \sqrt{26} vezes o valor de seu peso, e que o atrito é desprezível, determine:

a) a razão h/R;

(2,0 pontos)

b) a força que o trilho exerce sobre o esquiador no ponto mais alto do loop.

(3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

2º semestre · 2º dia · Física: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta)

Um esquiador de massa m desce por uma rampa, de altura h, e na parte inferior entra em um loop de raio R, conforme ilustra a figura a seguir.

Esquiador sobre uma rampa que desce de uma altura h até uma superfície horizontal, onde entra em um trilho circular com loop de raio R; o ponto A está localizado na meia altura do loop.

Tendo em vista que no ponto A, a altura R do solo, o módulo da força resultante sobre o esquiador é de \sqrt{26} vezes o valor de seu peso, e que o atrito é desprezível, determine:

a) a razão h/R;

(2,0 pontos)

b) a força que o trilho exerce sobre o esquiador no ponto mais alto do loop.

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) No ponto A, atuam sobre o esquiador a força normal e a força peso, que são perpendiculares entre si. Portanto, o módulo da força resultante é dada por F_r=\sqrt{N^2+P^2} . Como neste ponto a força normal coincide com a força centrípeta, tem-se

N=\frac{mv_A^2}{R}=\sqrt{F_r^2-P^2} \quad \rightarrow \quad mv_A^2=5mgR .

Pela conservação da energia, tem-se que: mgh=mgR+\frac{1}{2}mv_A^2 \quad \rightarrow \quad mgh=\frac{7}{2}mgR \quad \rightarrow \quad \frac{h}{R}=\frac{7}{2}

(2,0 pontos)

b) Aplicando o princípio da conservação da energia no ponto mais alto da trajetória circular, tem-se: \frac{1}{2}mv^2+2mgR=mgh=\frac{7}{2}mgR \quad \rightarrow \quad mv^2=3mgR . Portanto, a força resultante sobre o esquiador é: F_r=\frac{mv^2}{R}=N+P=3mg . Logo, a força que o trilho exerce sobre o esquiador, a normal, é N=3mg-mg=2mg=2P .

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) No ponto A, na altura R, o esquiador está na lateral do loop. Ali o peso P=mg é vertical e a normal N é horizontal, apontando para o centro. Como são perpendiculares, a resultante é

F_R=\sqrt{N^2+P^2}=\sqrt{26}\,P \Rightarrow N^2=25P^2 \Rightarrow N=5mg.

Só a normal faz o papel de força centrípeta nesse ponto:

N=\frac{mv_A^2}{R}\Rightarrow v_A^2=5gR.

Sem atrito, a energia mecânica se conserva. Supondo que o esquiador parte do repouso no topo da rampa, a altura h e o ponto A (altura R) dão:

mgh=mgR+\frac{1}{2}mv_A^2=mgR+\frac{5}{2}mgR=\frac{7}{2}mgR.

Logo h=3{,}5R.

h/R = 7/2 = 3{,}5

b) No ponto mais alto do loop, a altura é 2R. Pela conservação de energia, com h=3{,}5R:

v^2=2g(h-2R)=2g(1{,}5R)=3gR.

Nesse ponto, o peso e a normal apontam para baixo, em direção ao centro. A resultante centrípeta é então

N+mg=\frac{mv^2}{R}=3mg \Rightarrow N=2mg.

A velocidade é maior que o mínimo para completar o loop (v^2=gR), e N>0 confirma que o esquiador mantém contato com o trilho. A força do trilho é vertical, para baixo (em direção ao centro).

N=2mg, vertical e para baixo

Assuntos: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta), Energia mecânica e sua conservação.

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Questão 2 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗