Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Em 1987, na cidade de Goiânia, aproximadamente 20 g de \ce{^{137}Cs} foram manipulados por várias pessoas, causando um grande acidente radiológico. Sabendo-se que a massa final do \ce{^{137}Cs}, após 240 anos, será de 0,08 g, esboce um gráfico que represente o decaimento da massa em função do tempo e calcule o tempo de meia-vida do \ce{^{137}Cs}. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

2º semestre · 1º dia · Química: Meia-vida e datação radioativa

Em 1987, na cidade de Goiânia, aproximadamente 20 g de \ce{^{137}Cs} foram manipulados por várias pessoas, causando um grande acidente radiológico. Sabendo-se que a massa final do \ce{^{137}Cs}, após 240 anos, será de 0,08 g, esboce um gráfico que represente o decaimento da massa em função do tempo e calcule o tempo de meia-vida do \ce{^{137}Cs}. (5,0 pontos)

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Resposta esperada pela UFG

O gráfico que representa o decaimento da massa do elemento radiativo em função do tempo é:

[Figura: Gráfico cartesiano de linha com o eixo vertical rotulado como "Massa (mg)" e valores de 0 a 20 com divisões de 5 em 5, e o eixo horizontal rotulado como "Tempo (anos)" com valores de 0 a 240 com divisões de 30 em 30. Uma curva exponencial decrescente passa pelos pontos marcados com losangos: (0, 20), (30, 10), (60, 5), (90; 2,5), (120; 1,25), (150; 0,625), (180; 0,312), (210; 0,156) e (240; 0,078).]

O tempo de meia-vida de um composto é o tempo necessário para que ele se desintegre até a metade de sua massa original.

Logo, pode-se calcular o tempo de meia-vida multiplicando por dois o valor da massa final após 240 anos, até que se chegue próximo a 20 gramas.

Assim, 0{,}08\text{ g} \times 2 = 0{,}16 \quad 0{,}16 \times 2 = 0{,}32 \quad 0{,}32 \times 2 = 0{,}64 \quad 0{,}64 \times 2 = 1{,}28
1{,}28 \times 2 = 2{,}56 \quad 2{,}56 \times 2 = 5{,}12 \quad 5{,}12 \times 2 = 10{,}24 \quad 10{,}24 \times 2 = \text{aproximadamente } 20\text{ g}.

20 gramas é a massa inicial de ^{137}\text{Cs}. Assim, 8 decaimentos ocorreram até que se chegasse a 0,08 gramas.

Portanto, a razão entre 240 anos e 8 decaimentos resulta que o tempo de meia-vida do ^{137}\text{Cs} é de 30 anos.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Na meia-vida (t_{1/2}), a massa cai pela metade. Depois de n meias-vidas, a massa restante é:

m = \frac{m_0}{2^n}

Massa inicial: m_0 = 20\ \text{g}. Massa final: m = 0{,}08\ \text{g}.
Razão entre elas: \dfrac{20}{0{,}08} = 250 = 2^n.
Como 2^8 = 256 \approx 250, temos n \approx 8 meias-vidas.
Em 240 anos ocorreram 8 meias-vidas:

t_{1/2} = \frac{240\ \text{anos}}{8} = 30\ \text{anos}

Gráfico. Coloque o tempo (anos) no eixo horizontal e a massa de \ce{^{137}Cs} (g) no vertical. A curva é uma exponencial decrescente que parte de 20 g e se aproxima do eixo do tempo sem tocá-lo. Os pontos principais são:

Tempo (anos)	0	30	60	90	120	150	180	210	240
Massa (g)	20	10	5	2,5	1,25	0,625	0,31	0,16	≈ 0,08

A cada 30 anos a massa cai à metade. Por isso a queda é muito rápida no início e cada vez mais lenta depois.

Resposta: t_{1/2} = 30 anos, com gráfico exponencial decrescente de 20 g (t = 0) a ≈ 0,08 g (t = 240 anos).

Assunto: Meia-vida e datação radioativa.

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Questão 16 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 2º semestre · 1º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗