Questão 4 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

Question

Um barril cilíndrico de madeira, com área da base A e altura h, é usado para transportar objetos em um lago de águas calmas. Ainda vazio, o barril fica com um quarto de sua altura submerso. Após ser lentamente carregado, o barril fica submerso até a metade de sua altura. A densidade da água é \rho e a aceleração da gravidade é g. Em função dos parâmetros fornecidos:

a) calcule a massa do barril;

(2,0 pontos)

b) escreva a força peso que a carga exerce no barril em função da altura submersa e calcule o trabalho realizado por essa força ao longo do carregamento.

(3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

2º semestre · 2º dia · Física: Empuxo e princípio de Arquimedes

Um barril cilíndrico de madeira, com área da base A e altura h, é usado para transportar objetos em um lago de águas calmas. Ainda vazio, o barril fica com um quarto de sua altura submerso. Após ser lentamente carregado, o barril fica submerso até a metade de sua altura. A densidade da água é \rho e a aceleração da gravidade é g. Em função dos parâmetros fornecidos:

a) calcule a massa do barril;

(2,0 pontos)

b) escreva a força peso que a carga exerce no barril em função da altura submersa e calcule o trabalho realizado por essa força ao longo do carregamento.

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Do equilíbrio de forças tem-se que \quad E = P \quad \rightarrow \quad A\,\frac{h}{4}\,\rho\,g = mg \quad \rightarrow \quad m = \frac{1}{4}\,\rho\,A\,h

(2,0 pontos)

b) A força exercida pela carga é diretamente proporcional ao quanto o barril está submerso. A força F para submergir o barril de uma altura x é dada por:

P_{barril} + F = A\,x\,\rho\,g \quad \rightarrow \quad F = A\,x\,\rho\,g - A\,\frac{h}{4}\,\rho\,g = A\,\rho\,g\left(x - \frac{h}{4}\right) \quad \text{para} \quad \frac{h}{4} \le x \le \frac{h}{2}

[Figura: Gráfico cartesiano de F em função de x. O eixo horizontal representa a altura submersa x, com as marcações \frac{h}{4} e \frac{h}{2}. O eixo vertical representa a força F, com a marcação F_{\max}. O gráfico consiste em um segmento de reta que se inicia em zero na abscissa x = \frac{h}{4} e cresce linearmente até o ponto (\frac{h}{2}, F_{\max}), o qual é indicado por linhas pontilhadas perpendiculares aos eixos.]

Como o trabalho realizado por uma força é numericamente igual à área em baixo da curva da força versus distância, o trabalho será

W_{h/4 \rightarrow h/2} = \frac{1}{2}\,\Delta h \cdot F_{max} = \frac{1}{2}\,\frac{h}{4}\,A\,\frac{h}{4}\,\rho\,g = \frac{1}{32}\,\rho\,A\,g\,h^2

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Com o barril vazio em equilíbrio, o peso é igual ao empuxo. O volume submerso é A\cdot\frac{h}{4}.

mg=\rho g A\frac{h}{4}\ \Rightarrow\ m=\frac{\rho A h}{4}

m=\dfrac{\rho A h}{4}

b) Durante o carregamento lento, o barril está sempre em equilíbrio. Seja x a altura submersa. O empuxo é \rho g A x, e ele equilibra o peso do barril mais o peso da carga P_c:

\rho g A x = mg + P_c \ \Rightarrow\ P_c(x)=\rho g A x-\rho g A\frac{h}{4}=\rho g A\left(x-\frac{h}{4}\right)

A carga vai de 0 (em x=h/4) até \rho g A\,h/4 (em x=h/2). Ela cresce linearmente com x.

O barril desce junto com a carga, de x=h/4 até x=h/2, ou seja, um deslocamento de h/4. O trabalho da força peso da carga é a área sob o gráfico de P_c\times x, que é um triângulo de base h/4 e altura \rho g A h/4:

W=\int_{h/4}^{h/2}\rho g A\left(x-\frac{h}{4}\right)dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{h}{4}\cdot\frac{\rho g A h}{4}=\frac{\rho g A h^2}{32}

O trabalho é positivo, pois o peso e o deslocamento têm o mesmo sentido.

P_c=\rho g A\left(x-\dfrac{h}{4}\right) e W=\dfrac{\rho g A h^2}{32}

Assuntos: Empuxo e princípio de Arquimedes, Trabalho de uma força e teorema da energia cinética.

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Questão 4 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗