Questão 3 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

Question

Um torcedor sentado na arquibancada, a uma altura de 2,2 m em relação ao nível do campo, vê um jogador fazer um lançamento e percebe que a bola permaneceu por 2,0 segundos acima do nível em que se encontra. Considerando-se que o ângulo de lançamento foi de 30^\circ, calcule:

a) a velocidade de lançamento da bola; (3,0 pontos)

b) o alcance do lançamento da bola. (2,0 pontos)

Dados:
g = 10\text{ m/s}^2
\sqrt{3} \approx 1{,}7

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

2º semestre · 2º dia · Física: Lançamento horizontal e oblíquo

Um torcedor sentado na arquibancada, a uma altura de 2,2 m em relação ao nível do campo, vê um jogador fazer um lançamento e percebe que a bola permaneceu por 2,0 segundos acima do nível em que se encontra. Considerando-se que o ângulo de lançamento foi de 30^\circ, calcule:

a) a velocidade de lançamento da bola; (3,0 pontos)

b) o alcance do lançamento da bola. (2,0 pontos)

Dados:
g = 10\text{ m/s}^2
\sqrt{3} \approx 1{,}7

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) A equação que descreve o movimento da bola ao longo da direção vertical é:

y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 \rightarrow \frac{1}{2} g t^2 - v_{0y} t + e \text{ ou } \frac{1}{2} g t^2 - v_{0y} t + \Delta y = 0 \rightarrow t = \frac{v_{0y} \pm \sqrt{v_{0y}^2 - 2g \Delta y}}{g} \rightarrow \Delta t = \frac{2}{g} \cdot \sqrt{v_{0y}^2 - 2g \Delta y}

Portanto,

v_{0y}^2 = 2g \Delta y + \frac{1}{4} g^2 \Delta t^2 \rightarrow v_0 = \frac{\sqrt{2g \Delta y + \frac{1}{4} g^2 \Delta t^2}}{sen(\theta)} \rightarrow v_0 = \frac{\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2{,}2 + \frac{1}{4} 10^2 2{,}0^2}}{sen(30^\circ)} = \frac{\sqrt{44 + 100}}{1/2} = 2 \sqrt{144}

Assim a velocidade de lançamento foi de v_0 = 24\text{ m/s}.

(3,0 pontos)

b) Ao chegar ao solo \Delta y = 0 , logo, tem-se que:

0 = v_{0y} t_q - \frac{1}{2} g t_q^2 \rightarrow t_q = \frac{2 v_0 sen(\theta)}{g}

Portanto, alcance é dado por

x = v_{0x} t_q = \frac{v_0^2 sen(2\theta)}{g} = \frac{24^2 (\sqrt{3}/2)}{10} = 49

Assim, o alcance é 49 m.

(2,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Considere que a bola é lançada do nível do campo. O torcedor está a 2{,}2\ \text{m} do campo, e a bola fica 2{,}0\ \text{s} acima dessa altura.

O movimento vertical é simétrico em torno do ponto mais alto. A bola sobe até o nível de 2{,}2\ \text{m}, continua subindo até o topo, e depois desce até o mesmo nível. Cada trecho acima desse nível dura 1{,}0\ \text{s} de ida e volta até o topo.

No topo a velocidade vertical é nula. Ao passar pelo nível do torcedor, 1{,}0\ \text{s} antes do topo, a velocidade vertical vale:

v_1 = g\,t = 10\cdot 1{,}0 = 10\ \text{m/s}

Agora aplicamos Torricelli entre o lançamento (velocidade vertical v_{0y}) e o nível de 2{,}2\ \text{m}:

v_1^2 = v_{0y}^2 - 2g\,h \Rightarrow 100 = v_{0y}^2 - 2\cdot 10\cdot 2{,}2

v_{0y}^2 = 144 \Rightarrow v_{0y} = 12\ \text{m/s}

Como v_{0y} = v_0\,\sen 30^\circ = v_0/2:

v_0 = 2\cdot 12 = 24\ \text{m/s}

v_0 = 24\ \text{m/s}

b) O alcance é a distância horizontal percorrida até a bola voltar ao nível do campo, de onde ela foi lançada.

Tempo total de voo:

t_{total} = \frac{2\,v_{0y}}{g} = \frac{2\cdot 12}{10} = 2{,}4\ \text{s}

Componente horizontal da velocidade, constante:

v_x = v_0\cos 30^\circ = 24\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 12\sqrt3 \approx 12\cdot 1{,}7 = 20{,}4\ \text{m/s}

Alcance:

A = v_x\,t_{total} = 20{,}4\cdot 2{,}4 \approx 49\ \text{m}

A \approx 49\ \text{m}

Assunto: Lançamento horizontal e oblíquo.

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Questão 3 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗