Questão 2 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

Question

Em um recipiente com um líquido de índice de refração aproximadamente igual a \sqrt{2}, incide-se um feixe de luz, variando-se o ângulo de incidência com o intuito de medir a inclinação do fundo do recipiente. Verificou-se que o ângulo de incidência \theta=45^\circ é o ângulo limite para que a luz refletida no fundo do recipiente não retorne para o meio externo, conforme ilustra a figura a seguir.

Recipiente contendo líquido de índice de refração n, com fundo inclinado em um ângulo delta em relação à horizontal. Um raio de luz incide na superfície com ângulo teta em relação à normal, refrata para dentro do líquido, reflete na base inclinada e atinge a superfície superior, propagando-se paralelamente a ela (ângulo de refração de 90 graus).

Com base no exposto, calcule:

a) o ângulo limite de reflexão interna total desse líquido;

(2,0 pontos)

b) o ângulo \delta de inclinação do fundo.

(3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

2º semestre · 2º dia · Física: Reflexão total e dispersão da luz

Em um recipiente com um líquido de índice de refração aproximadamente igual a \sqrt{2}, incide-se um feixe de luz, variando-se o ângulo de incidência com o intuito de medir a inclinação do fundo do recipiente. Verificou-se que o ângulo de incidência \theta=45^\circ é o ângulo limite para que a luz refletida no fundo do recipiente não retorne para o meio externo, conforme ilustra a figura a seguir.

Recipiente contendo líquido de índice de refração n, com fundo inclinado em um ângulo delta em relação à horizontal. Um raio de luz incide na superfície com ângulo teta em relação à normal, refrata para dentro do líquido, reflete na base inclinada e atinge a superfície superior, propagando-se paralelamente a ela (ângulo de refração de 90 graus).

Com base no exposto, calcule:

a) o ângulo limite de reflexão interna total desse líquido;

(2,0 pontos)

b) o ângulo \delta de inclinação do fundo.

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

[Figura: Esquema geométrico da trajetória de um raio luminoso que incide a partir do ar sobre a superfície de um líquido de índice de refração n, com ângulo de incidência \theta e ângulo de refração \theta_1. O raio refratado atinge o fundo do recipiente, inclinado de um ângulo \delta em relação à horizontal, sofrendo reflexão com ângulos indicados em relação à normal da superfície e do fundo (\theta_1, \delta, \theta_2). O raio refletido atinge novamente a superfície superior com ângulo de incidência \theta_2, refratando-se rasante à interface (ângulo de refração de 90^\circ).]

a) Usando-se a lei de Snell, na saída da luz do meio em que o ângulo limite é \theta_2 , tem-se que

n_{liq}\cdot sen(\theta_2) = n_{ar}\cdot sen(90^\circ)

sen(\theta_2) = \frac{1}{n_{liq}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \rightarrow \quad \theta_2 = 45^\circ\ .

(2,0 pontos)

b) Usando-se a lei de Snell, na entrada da luz no meio, tem-se que

n_{ar}\cdot sen(45^\circ) = n_{liq}\cdot sen(\theta_1)

sen(\theta_1) = \frac{sen(45^\circ)}{n_{liq}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad \theta_1 = 30^\circ\ .

Da figura, tem-se que: \theta_1+\delta=\theta_2-\delta (lei da reflexão).

Portanto, 2\,\delta=\theta_2-\theta_1 \quad \rightarrow \quad \delta=(\theta_2-\theta_1)/2 .

Com isso, a inclinação do fundo será \delta=(45^\circ-30^\circ)/2=7{,}5^\circ .

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) O ângulo limite L é o ângulo de incidência, no líquido, para o qual o raio refratado sai rasante (a 90^\circ) no ar, de índice n_{ar}=1. Pela lei de Snell:

n_{liq}\,\sen L = n_{ar}\,\sen 90^\circ \Rightarrow \sen L=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}

Logo L=45^\circ.

L=45^\circ

b) Primeiro achamos o ângulo de refração r na entrada, com \theta=45^\circ:

1\cdot\sen45^\circ=\sqrt2\,\sen r\Rightarrow \sen r=\frac{1}{2}\Rightarrow r=30^\circ

O raio desce, então, a 30^\circ da vertical.

O enunciado diz que 45^\circ é o ângulo limite para a luz refletida no fundo não retornar ao ar. Então o raio refletido atinge a superfície com incidência de 45^\circ (igual a L), ou seja, também a 45^\circ da vertical.

Agora a geometria do fundo. A normal ao fundo inclinado forma o ângulo \delta com a vertical, inclinada para o lado em que o fundo desce.

O ângulo de incidência no fundo é i=30^\circ+\delta, medido entre o raio e a normal ao fundo.
Pela lei da reflexão, o raio refletido forma com a normal o mesmo ângulo i, do outro lado dela.
Em relação à vertical, o raio refletido fica então a \delta + i = 30^\circ+2\delta.

Impondo que esse ângulo seja 45^\circ:

30^\circ+2\delta=45^\circ\Rightarrow \delta=7{,}5^\circ

\delta=7{,}5^\circ

Assuntos: Reflexão total e dispersão da luz, Refração da luz e lei de Snell.

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Questão 2 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗