Questão 12 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

Question

Uma estrutura de arame foi construída a partir de dois cubos concêntricos de medidas diferentes e com faces paralelas, ligando cada vértice do cubo interno a um vértice do cubo externo, por segmentos de reta, como indica a figura a seguir.

Estrutura de arame formada por dois cubos concêntricos com vértices correspondentes conectados por segmentos de reta, com cota indicando que a aresta do cubo externo mede ℓ.

Considere que a aresta do cubo interno tem um terço do comprimento, \ell, da aresta do cubo externo e que cada haste é formada por um único fio de arame esticado. Nessas condições, determine, em função de \ell, o comprimento de arame necessário para a construção desta estrutura. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

2º semestre · 2º dia · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Uma estrutura de arame foi construída a partir de dois cubos concêntricos de medidas diferentes e com faces paralelas, ligando cada vértice do cubo interno a um vértice do cubo externo, por segmentos de reta, como indica a figura a seguir.

Estrutura de arame formada por dois cubos concêntricos com vértices correspondentes conectados por segmentos de reta, com cota indicando que a aresta do cubo externo mede ℓ.

Considere que a aresta do cubo interno tem um terço do comprimento, \ell, da aresta do cubo externo e que cada haste é formada por um único fio de arame esticado. Nessas condições, determine, em função de \ell, o comprimento de arame necessário para a construção desta estrutura. (5,0 pontos)

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Resposta esperada pela UFG

O comprimento de arame necessário para a construção da estrutura é a soma dos comprimentos das arestas dos cubos adicionada aos comprimentos das hastes ligando os vértices do cubo interno aos do cubo externo.

Como os cubos são concêntricos e com faces paralelas, cada diagonal do cubo menor está contida em uma diagonal do cubo maior. Pela proporcionalidade entre as arestas dos cubos, o comprimento, x, de cada segmento ligando um vértice do cubo interno a um vértice do cubo externo é um terço do comprimento da diagonal do cubo externo.

[Figura: Representação tridimensional de dois cubos concêntricos com faces paralelas. O cubo externo tem aresta de comprimento \ell entre os vértices C e D. Os vértices A e B estão na face inferior, formando o triângulo retângulo ABC. Uma região sombreada destaca o triângulo retângulo interior ACD, no qual o segmento AC é a diagonal da base e a hipotenusa AD é a diagonal espacial do cubo maior, atravessando diagonalmente o cubo menor.]

Pela figura acima, ABC e ACD são triângulos retângulos, e pelo Teorema de Pitágoras

AC = \ell \sqrt{2} \quad \text{e} \quad AD = \ell \sqrt{3}

segue que

x = \frac{AD}{3} = \frac{\sqrt{3}\,\ell}{3}

Portanto, o comprimento, C, do arame, em função de \ell, é dado por

\begin{aligned} C &= 12\ell + 12\frac{\ell}{3} + 8x \\ &= 8(2\ell + x) \\ &= 8\ell \left(2 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \end{aligned}

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) O arame é usado nas 12 arestas do cubo externo, nas 12 arestas do cubo interno e nas 8 hastes que ligam os vértices.

Cubo externo, de aresta \ell: 12\ell.
Cubo interno, de aresta \dfrac{\ell}{3}: 12\cdot\dfrac{\ell}{3}=4\ell.
Hastes: os cubos são concêntricos e têm faces paralelas. Colocando o centro na origem, um vértice externo é \left(\dfrac{\ell}{2},\dfrac{\ell}{2},\dfrac{\ell}{2}\right) e o vértice interno correspondente é \left(\dfrac{\ell}{6},\dfrac{\ell}{6},\dfrac{\ell}{6}\right). Em cada coordenada a diferença é \dfrac{\ell}{2}-\dfrac{\ell}{6}=\dfrac{\ell}{3}. Cada haste mede então a diagonal de um cubo de aresta \dfrac{\ell}{3}:

h=\frac{\ell}{3}\sqrt{3}=\frac{\ell\sqrt{3}}{3}

As 8 hastes somam 8\cdot\dfrac{\ell\sqrt3}{3}=\dfrac{8\sqrt3\,\ell}{3}.

Somando tudo:

C=12\ell+4\ell+\frac{8\sqrt3}{3}\ell=16\ell+\frac{8\sqrt3}{3}\ell=\frac{8(6+\sqrt3)}{3}\,\ell

Comprimento de arame: \dfrac{8(6+\sqrt3)}{3}\,\ell, ou seja, \left(16+\dfrac{8\sqrt3}{3}\right)\ell.

Assunto: Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 12 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗