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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 2º dia · Física: Relatividade restrita

No microscópio eletrônico de transmissão os elétrons são acelerados por uma diferença de potencial, atravessam uma fina camada da amostra a ser analisada e, finalmente, atingem o detector. Como as energias dos elétrons são elevadas, correções relativísticas são necessárias. A energia cinética relativística dos elétrons é dada por

E = \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) E_0,

sendo E_0 = mc^2 = 0{,}5\text{ MeV}.

Diante do exposto, calcule:

a) a diferença de potencial aplicada aos elétrons para E = E_0/10, lembrando que 1{,}0\text{ eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J}. (2,0 pontos)

b) a razão v/c entre a velocidade dos elétrons e a velocidade da luz para E = E_0/12. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) O elétron, partindo do repouso, ganha energia cinética igual ao trabalho da força elétrica: E = eV. Com E_0 = 0{,}5\ \text{MeV}:

E = \frac{E_0}{10} = 0{,}05\ \text{MeV} = 5{,}0\times10^{4}\ \text{eV}

Em joules, E = 5{,}0\times10^{4}\times 1{,}6\times10^{-19} = 8{,}0\times10^{-15}\ \text{J}. Como a carga do elétron é e = 1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}, o 1{,}6\times10^{-19} se cancela:

V = \frac{E}{e} = \frac{8{,}0\times10^{-15}}{1{,}6\times10^{-19}} = 5{,}0\times10^{4}\ \text{V}

Em eV, a energia de um elétron acelerado por V volts vale numericamente V elétrons-volt, e daí sai o mesmo resultado.

V = 5{,}0\times10^{4}\ \text{V} = 50\ \text{kV}

b) Igualamos a expressão relativística a E_0/12:

\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)E_0 = \frac{E_0}{12}

Cancelando E_0:

\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 1+\frac{1}{12} = \frac{13}{12}

Invertendo e elevando ao quadrado:

1-\frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{144}{169}
\frac{v^2}{c^2} = 1-\frac{144}{169} = \frac{25}{169}
\frac{v}{c} = \frac{5}{13} \approx 0{,}38

v/c = 5/13 \approx 0{,}38

Assuntos: Relatividade restrita, Potencial elétrico e energia potencial elétrica.

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Ver como caiu na prova Questão 6 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗