Questão 5 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Com o atual estado da arte da nanoeletrônica é possível construir potenciais de confinamento eletrônicos com diversas formas geométricas. Na escala nanométrica, os efeitos quânticos tornam-se relevantes e faz-se necessário o uso da teoria quântica para se descrever o comportamento dos elétrons. Dentre esses potenciais, o parabólico, que descreve um oscilador harmônico, caracteriza-se por apresentar níveis de energia igualmente espaçados dados por

E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) h f_0 \quad n = 0, 1, 2, 3, \dots

em que f_0 é a frequência natural do oscilador harmônico, n o seu nível de energia e h a constante de Planck. Ao fazer uma transição de um nível n para o estado fundamental (n = 0), fótons são emitidos nas cores vermelho, laranja e verde, como ilustrado no quadro abaixo.

Transição	Cor	Frequência (THz)
n_1 \rightarrow 0	Vermelho	420
n_2 \rightarrow 0	Laranja	480
n_3 \rightarrow 0	Verde	600

Considerando essas informações, calcule os menores valores inteiros possíveis de n_1, n_2 e n_3 para cada uma das transições e o valor da frequência natural f_0.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

1º semestre · 2º dia · Física: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico

Com o atual estado da arte da nanoeletrônica é possível construir potenciais de confinamento eletrônicos com diversas formas geométricas. Na escala nanométrica, os efeitos quânticos tornam-se relevantes e faz-se necessário o uso da teoria quântica para se descrever o comportamento dos elétrons. Dentre esses potenciais, o parabólico, que descreve um oscilador harmônico, caracteriza-se por apresentar níveis de energia igualmente espaçados dados por

E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) h f_0 \quad n = 0, 1, 2, 3, \dots

em que f_0 é a frequência natural do oscilador harmônico, n o seu nível de energia e h a constante de Planck. Ao fazer uma transição de um nível n para o estado fundamental (n = 0), fótons são emitidos nas cores vermelho, laranja e verde, como ilustrado no quadro abaixo.

Transição	Cor	Frequência (THz)
n_1 \rightarrow 0	Vermelho	420
n_2 \rightarrow 0	Laranja	480
n_3 \rightarrow 0	Verde	600

Considerando essas informações, calcule os menores valores inteiros possíveis de n_1, n_2 e n_3 para cada uma das transições e o valor da frequência natural f_0.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Na transição de um nível n para o fundamental (n=0), o fóton leva a diferença de energia entre os níveis:

\Delta E = E_n - E_0 = \left(n+\tfrac12\right)hf_0 - \tfrac12 hf_0 = n\,h f_0

Como a energia do fóton é E = hf, a frequência emitida é

f = n f_0

Ou seja, as frequências emitidas são múltiplos inteiros de f_0. Para as três cores:

420 = n_1 f_0
480 = n_2 f_0
600 = n_3 f_0

As razões entre as frequências são 420:480:600 = 7:8:10, e n_1:n_2:n_3 deve ter a mesma razão. Os menores inteiros nessa proporção são 7, 8 e 10, pois não há divisor comum entre eles. Isso equivale a tomar f_0 como o máximo divisor comum de 420, 480 e 600 (em THz), que é 60.

Conferindo: 7\times 60 = 420, 8\times 60 = 480 e 10\times 60 = 600 THz.

Logo, n_1 = 7 (vermelho), n_2 = 8 (laranja), n_3 = 10 (verde) e

f_0 = \frac{420}{7} = 60\ \text{THz}

Resposta: n_1=7, n_2=8, n_3=10 e f_0 = 60\ \text{THz}.

Assunto: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico.

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Questão 5 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗