Questão 3 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Em um fio condutor cilíndrico de comprimento 30 m e seção transversal de área 1{,}5\text{ mm}^2, aplica-se uma diferença de potencial de 1,5 volts, que produz uma corrente elétrica constante. Um modelo microscópico, que descreve a corrente elétrica nesse fio, é obtido considerando que os elétrons são acelerados pela ddp, colidem entre si e com os íons do metal. O efeito das colisões é descrito por uma força resistiva proporcional à velocidade média \vec{v} dos elétrons, dada por

\vec{F}_r = -\frac{e}{\mu}\vec{v}

em que \mu = 0{,}002\text{ m}^2\text{V}^{-1}\text{s}^{-1} é a mobilidade eletrônica e e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}, a carga elementar. Sabendo que no fio existem 5 \times 10^{28}\text{ elétrons/m}^3, calcule o valor da corrente elétrica no regime estacionário.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

1º semestre · 2º dia · Física: Corrente elétrica

Em um fio condutor cilíndrico de comprimento 30 m e seção transversal de área 1{,}5\text{ mm}^2, aplica-se uma diferença de potencial de 1,5 volts, que produz uma corrente elétrica constante. Um modelo microscópico, que descreve a corrente elétrica nesse fio, é obtido considerando que os elétrons são acelerados pela ddp, colidem entre si e com os íons do metal. O efeito das colisões é descrito por uma força resistiva proporcional à velocidade média \vec{v} dos elétrons, dada por

\vec{F}_r = -\frac{e}{\mu}\vec{v}

em que \mu = 0{,}002\text{ m}^2\text{V}^{-1}\text{s}^{-1} é a mobilidade eletrônica e e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}, a carga elementar. Sabendo que no fio existem 5 \times 10^{28}\text{ elétrons/m}^3, calcule o valor da corrente elétrica no regime estacionário.

(5,0 pontos)

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Resposta esperada pela UFG

No equilíbrio, a força resultante sobre os elétrons é nula, ou seja,

\vec{F} = \vec{F}_e + \vec{F}_r = 0

Substituindo-se as expressões das forças, obtém-se eE - \frac{e}{\mu} v = 0 \quad \Rightarrow \quad v = \mu E

para o fio condutor, E = \frac{V}{l} , usando-se a expressão anterior segue que a velocidade é v = \frac{\mu V}{l}

A corrente é definida como i = \frac{\Delta Q}{\Delta t} e a carga é dada por \Delta Q = e n_e A v \Delta t , com isso obtém-se

i = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{e n_e A v \Delta t}{\Delta t} = e n_e A v

Substituindo-se a expressão da velocidade encontrada anteriormente, obtém-se

i = e n_e A \mu \frac{V}{l} = 1{,}6 \times 10^{-19} \cdot 5{,}0 \times 10^{28} \cdot 1{,}5 \times 10^{-6} \cdot 2{,}0 \times 10^{-3} \frac{1{,}5}{30} = 1{,}2\text{ A}

O valor da corrente elétrica é 1,2 A.

(5,0 pontos)

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Resolução (item único)

No regime estacionário a velocidade média dos elétrons é constante. Assim, a força elétrica que a ddp exerce sobre cada elétron se equilibra com a força resistiva.

Campo elétrico no fio, uniforme:

E = \frac{V}{L} = \frac{1{,}5}{30} = 0{,}05\ \text{V/m}
Equilíbrio de forças, em módulo:

eE = \frac{e}{\mu}v \;\Rightarrow\; v = \mu E = 0{,}002 \times 0{,}05 = 1\times10^{-4}\ \text{m/s}
Corrente a partir do modelo microscópico. Em um intervalo \Delta t, atravessam a seção os elétrons contidos no volume A\,v\,\Delta t. Logo:

i = n\,e\,v\,A

Com A = 1{,}5\ \text{mm}^2 = 1{,}5\times10^{-6}\ \text{m}^2:

i = (5\times10^{28})(1{,}6\times10^{-19})(1\times10^{-4})(1{,}5\times10^{-6})

i = 8\times10^{5}\times1{,}5\times10^{-6} = 1{,}2\ \text{A}

Corrente elétrica: i = 1{,}2\ \text{A}

Assuntos: Corrente elétrica, Campo elétrico.

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Questão 3 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗