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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 1º dia · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Região cinza representando um bosque, com uma linha vertical contendo os pontos alinhados A, B, C e D, e uma linha horizontal partindo de D até E, perpendicular a AD formando ângulo reto em D. Há ainda segmentos retos ligando B a E e C a E.

Na figura ao lado, a região preenchida com a cor cinza representa um bosque, e os segmentos de reta representam algumas trilhas para passear ao redor ou no interior dele.

Um morador da região caminha diariamente no bosque, iniciando e terminando sua caminhada no ponto A. Para evitar a monotonia, o caminhante definiu três percursos diferentes, sendo

p_1 = ABCEBA,\ p_2 = ABCDECBA,\ p_3 = ABCDEBA.

Na figura, o segmento AD tem 600\text{ m}, os pontos B e C dividem AD em três segmentos de mesmo comprimento, DE tem metade do comprimento de AD e o ângulo A\hat{D}E tem 90^\circ.

Com base nestas informações, ordene os três percursos pela ordem crescente de seus comprimentos e calcule a diferença de comprimento entre o percurso mais longo e o mais curto.

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Resolução comentada

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a) Como B e C dividem AD=600\ \text{m} em três partes iguais, AB=BC=CD=200\ \text{m}. Além disso, DE=300\ \text{m} e o ângulo em D é reto, então CDE e BDE são triângulos retângulos em D.

Pelo teorema de Pitágoras:

  1. CE=\sqrt{200^2+300^2}=\sqrt{130000}=100\sqrt{13}\ \text{m}\approx 360{,}6\ \text{m}
  2. BE=\sqrt{400^2+300^2}=\sqrt{250000}=500\ \text{m} (é a razão 3-4-5)

Agora somamos os trechos de cada percurso:

  • p_1=ABCEBA = AB+BC+CE+EB+BA = 200+200+100\sqrt{13}+500+200 = 1100+100\sqrt{13}\approx 1460{,}6\ \text{m}
  • p_2=ABCDECBA = AB+BC+CD+DE+EC+CB+BA = 200+200+200+300+100\sqrt{13}+200+200 = 1300+100\sqrt{13}\approx 1660{,}6\ \text{m}
  • p_3=ABCDEBA = AB+BC+CD+DE+EB+BA = 200+200+200+300+500+200 = 1600\ \text{m}

Como \sqrt{13}>3, vale 100\sqrt{13}>300. Assim p_1<p_3, pois 1100+100\sqrt{13}<1600 equivale a \sqrt{13}<5. Também p_3<p_2, pois 1300+100\sqrt{13}>1600 equivale a \sqrt{13}>3.

Ordem crescente: p_1<p_3<p_2.

O mais longo é p_2 e o mais curto é p_1:

p_2-p_1=(1300+100\sqrt{13})-(1100+100\sqrt{13})=200\ \text{m}

Ordem crescente: p_1<p_3<p_2; diferença entre o mais longo e o mais curto: 200\ \text{m}.

Assunto: Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Ver como caiu na prova Questão 14 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗