Questão 13 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Os povos da Antiguidade usavam uma arma chamada funda, constituída de uma corda dobrada ao meio, onde se coloca o objeto a ser lançado. Para o lançamento de um projétil de massa m, a funda é girada no plano vertical, descrevendo uma circunferência de raio L, com o projétil passando rente ao solo. Após o lançamento, o projétil atinge o solo a uma distância D. Considerando a corda inextensível e desprezando a massa da corda e a resistência do ar, calcule a força com que o lançador deve segurar a funda no instante imediatamente anterior ao lançamento do projétil, quando a corda forma um ângulo \theta com a vertical.

Esquema do movimento circular de raio L da funda no plano vertical e a posterior trajetória parabólica pontilhada do projétil até tocar o solo a uma distância horizontal D do ponto de liberação, momento no qual a corda faz um ângulo θ com a vertical.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011

1º semestre · 1º dia · Física: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta)

Os povos da Antiguidade usavam uma arma chamada funda, constituída de uma corda dobrada ao meio, onde se coloca o objeto a ser lançado. Para o lançamento de um projétil de massa m, a funda é girada no plano vertical, descrevendo uma circunferência de raio L, com o projétil passando rente ao solo. Após o lançamento, o projétil atinge o solo a uma distância D. Considerando a corda inextensível e desprezando a massa da corda e a resistência do ar, calcule a força com que o lançador deve segurar a funda no instante imediatamente anterior ao lançamento do projétil, quando a corda forma um ângulo \theta com a vertical.

Esquema do movimento circular de raio L da funda no plano vertical e a posterior trajetória parabólica pontilhada do projétil até tocar o solo a uma distância horizontal D do ponto de liberação, momento no qual a corda faz um ângulo θ com a vertical.

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As coordenadas x e y em função do tempo são dadas por

y(t) = L(1 - \cos\theta) + v_0 \sen\theta \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \quad \text{e} \quad x(t) = v_0 \cos\theta \cdot t

isolando o tempo na expressão para x(t) e substituindo em y(t), obtém-se a equação da trajetória:

y(x) = L(1 - \cos\theta) + x \cdot \tg\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2\theta}

Como para y(D) = 0 obtém-se:

0 = L(1 - \cos\theta) + D \cdot \tg\theta - \frac{gD^2}{2v_0^2 \cos^2\theta}

isolando a velocidade inicial, obtém-se

v_0^2 = \frac{gD^2}{2[L(1 - \cos\theta) + D \cdot \tg\theta]\cos^2\theta}

No instante imediatamente anterior ao lançamento, de acordo com a segunda lei de Newton, a resultante das forças na direção radial é:

ma = m\frac{v^2}{L} = T - P\cos\theta \quad \Rightarrow \quad T = \frac{mv_0^2}{L} + mg\cos\theta

Substituindo a velocidade, obtém-se

T = \frac{mgD^2}{2L[L(1 - \cos\theta) + D \cdot \tg\theta]\cos^2\theta} + mg\cos\theta

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a)

A força que o lançador faz sobre a funda é a tração T na corda. Para achá-la, precisamos da velocidade v de lançamento, que sai do alcance D.

1. Geometria do lançamento. O projétil passa rente ao solo no ponto mais baixo, então o centro da circunferência está a uma altura L do solo. Quando a corda forma o ângulo \theta com a vertical, o projétil está a uma altura

h = L - L\cos\theta = L(1-\cos\theta).

A velocidade é tangente à circunferência, ou seja, perpendicular à corda. Logo ela forma o ângulo \theta com a horizontal, como mostra a figura.

2. Movimento oblíquo. Tomando o solo como y=0 e a origem na vertical do ponto de lançamento:

x: D = v\cos\theta\, t \Rightarrow t = \dfrac{D}{v\cos\theta}
y: 0 = h + v\,\sen\theta\, t - \dfrac{g t^2}{2}

Substituindo t na equação de y:

0 = h + D\,\tg\theta - \frac{g D^2}{2v^2\cos^2\theta}

v^2=\frac{gD^2}{2\cos^2\theta\,(h+D\,\tg\theta)}=\frac{gD^2}{2\cos\theta\,(h\cos\theta+D\,\sen\theta)}

3. Dinâmica na direção radial. Imediatamente antes do lançamento o projétil ainda está em movimento circular. Na direção da corda, a tração aponta para o centro e a componente do peso aponta para fora, com valor mg\cos\theta. A resultante centrípeta é então

T - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{L}

T = mg\cos\theta + \frac{mv^2}{L}

4. Substituindo v^2 e h:

T = mg\cos\theta + \frac{m g D^2}{2L\cos\theta\,\left[L(1-\cos\theta)\cos\theta + D\,\sen\theta\right]}

A força com que o lançador segura a funda é essa tração:

T = mg\cos\theta + \dfrac{m g D^2}{2L\cos\theta\,[L(1-\cos\theta)\cos\theta + D\,\sen\theta]}

Assuntos: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta), Lançamento horizontal e oblíquo, Leis de Newton e aplicações.

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Questão 13 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗