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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 2º dia · Matemática: Progressão aritmética

Ao justapor polígonos regulares de mesmo tipo e de lado 1, unindo-os somente por um dos lados, sem que haja sobreposição de polígonos ou de parte deles, pode-se verificar que o perímetro da figura resultante obedece a um padrão, como nos dois casos exemplificados na tabela a seguir.

Quantidade de polígonos regulares Figuras resultantes da justaposição de polígonos regulares de lado 1
Triângulos Perímetro Pentágonos Perímetro
1 Um triângulo equilátero com um vértice apontando para baixo. 3 Um pentágono regular com um vértice apontando para cima. 5
2 Dois triângulos equiláteros justapostos por um lado interno tracejado, formando um paralelogramo. 4 Dois pentágonos regulares justapostos por um lado interno tracejado. 8
3 Três triângulos equiláteros justapostos em sequência por dois lados internos tracejados, formando um trapézio. 5 Três pentágonos regulares justapostos em sequência por dois lados internos tracejados. 11

Com base nestas informações, segundo as regras de justaposição descritas, responda:

a) Quantos pentágonos devem ser justapostos para que o perímetro da figura resultante seja 302? (2,0 pontos)

b) Denotando por P_n o perímetro da figura resultante da justaposição de n pentágonos regulares e H_m o perímetro da figura resultante da justaposição de m heptágonos regulares, quais são os três primeiros valores inteiros positivos de n e de m para os quais P_n = H_m? (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) Cada pentágono tem perímetro 5. Ao justapor um novo pentágono por um lado, esse lado deixa de fazer parte do contorno da figura, tanto no pentágono antigo quanto no novo. Assim, cada junção retira 2 do perímetro total.

Com n pentágonos há n-1 junções:

P_n = 5n - 2(n-1) = 3n+2

Conferindo com a tabela: P_1=5, P_2=8, P_3=11. ✓.

Fazendo P_n = 302:

3n+2=302 \Rightarrow 3n=300 \Rightarrow n=100

Devem ser justapostos 100 pentágonos.

b) O raciocínio é o mesmo para heptágonos: cada um tem perímetro 7 e há m-1 junções, cada uma retirando 2:

H_m = 7m - 2(m-1) = 5m+2

Impondo P_n = H_m:

3n+2 = 5m+2 \Rightarrow 3n = 5m

Como 3 e 5 são primos entre si, n deve ser múltiplo de 5 e m múltiplo de 3. Logo n=5k e m=3k, com k inteiro positivo.

Para k=1,2,3:

  • k=1: n=5 e m=3, com perímetro 17.
  • k=2: n=10 e m=6, com perímetro 32.
  • k=3: n=15 e m=9, com perímetro 47.

Os três primeiros pares são (n,m)=(5,3), (10,6) e (15,9).

Assuntos: Progressão aritmética, Equações do 1º grau e problemas.

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Ver como caiu na prova Questão 12 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗