Questão 5 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

O funcionamento de um dispositivo seletor de velocidade consiste em soltar uma esfera de uma altura h para passar por um dos orifícios superiores (\text{O}_1, \text{O}_2, \text{O}_3, \text{O}_4) e, sucessivamente, por um dos orifícios inferiores (\text{P}_1, \text{P}_2, \text{P}_3, \text{P}_4), conforme ilustrado na figura a seguir.

Os orifícios superiores e inferiores mantêm-se alinhados, e o sistema gira com velocidade angular constante \omega. Desprezando a resistência do ar e considerando que a esfera é liberada do repouso, calcule a altura máxima h para que a esfera atravesse o dispositivo. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

2º semestre · 2º dia · Física: Movimento circular uniforme e transmissão de movimento

O funcionamento de um dispositivo seletor de velocidade consiste em soltar uma esfera de uma altura h para passar por um dos orifícios superiores (\text{O}_1, \text{O}_2, \text{O}_3, \text{O}_4) e, sucessivamente, por um dos orifícios inferiores (\text{P}_1, \text{P}_2, \text{P}_3, \text{P}_4), conforme ilustrado na figura a seguir.

Os orifícios superiores e inferiores mantêm-se alinhados, e o sistema gira com velocidade angular constante \omega. Desprezando a resistência do ar e considerando que a esfera é liberada do repouso, calcule a altura máxima h para que a esfera atravesse o dispositivo. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Por conservação de energia:

m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2 \implies v^2 = 2\,g\,h

Há uma altura máxima h da qual solta-se a bolinha para ela conseguir atravessar o dispositivo. Nessa condição sua velocidade será máxima, e o tempo para percorrer H será ¼ do período, ou seja, \frac{2\pi}{4\omega}, logo:

H = v\,t + \frac{g\,t^2}{2} = v\,\frac{\pi}{2\omega} + \frac{g}{2}\left(\frac{\pi}{2\omega}\right)^2 \implies v = \left(\frac{2\omega}{\pi}\right)H - \frac{1}{2}\,g\,\frac{\pi}{2\omega}

v^2 = \left(\frac{2\omega}{\pi}\,H - \frac{\pi}{4\omega}\,g\right)^2 = 2\,g\,h \quad \text{logo:} \quad h = \left(\frac{2\omega}{\pi}\,H - \frac{\pi}{4\omega}\,g\right)^2 \frac{1}{2g}

(5,0 pontos)

Critério de correção

Atendeu plenamente ao que foi solicitado a resposta do candidato que apresentou corretamente o cálculo da altura máxima. Cada etapa do desenvolvimento foi pontuada independentemente. Respostas com a unidade errada ou sem a unidade e erros matemáticos foram pontuados parcialmente.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a)

A esfera cai em queda livre de uma altura h e chega a \text{O}_1 com velocidade

v=\sqrt{2gh}.

Depois disso, ela percorre a distância H entre os discos em movimento uniformemente acelerado, num tempo t:

H=vt+\frac{gt^2}{2}.

Durante esse tempo os discos giram, e os orifícios inferiores também. Para a esfera passar, algum orifício \text{P} precisa estar embaixo dela quando ela chegar ao disco inferior. Como são 4 orifícios igualmente espaçados, o disco deve girar um múltiplo de \frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2} rad:

\omega t=n\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ t=\frac{n\pi}{2\omega},\quad n=1,2,3,\dots

O caso n=0 não serve, pois t>0.

Quanto maior h, maior v e menor o tempo t de travessia. Então a altura máxima corresponde ao menor tempo permitido, que é n=1:

t=\frac{\pi}{2\omega}.

Isolando v na equação de H:

v=\frac{H}{t}-\frac{gt}{2}=\frac{2\omega H}{\pi}-\frac{g\pi}{4\omega}.

Como h=\dfrac{v^2}{2g}:

h_{máx}=\frac{1}{2g}\left(\frac{2\omega H}{\pi}-\frac{g\pi}{4\omega}\right)^2=\frac{2\omega^2H^2}{\pi^2 g}-\frac{H}{2}+\frac{g\pi^2}{32\omega^2}.

h_{máx}=\dfrac{1}{2g}\left(\dfrac{2\omega H}{\pi}-\dfrac{g\pi}{4\omega}\right)^2

Assuntos: Movimento circular uniforme e transmissão de movimento, Queda livre e lançamento vertical.

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Questão 5 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗