Questão 4 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Antipartículas, raras na natureza, possuem carga elétrica oposta à de suas partículas correspondentes. Se encontrássemos uma fonte de antipartículas, poderíamos produzir uma grande quantidade de energia, permitindo que elas se aniquilassem com suas partículas. Dessa forma, calcule:

a) a quantidade de energia que seria liberada se 2,0 gramas de antimatéria fossem aniquiladas com 2,0 gramas de sua matéria (considere a velocidade da luz igual a 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}); (2,5 pontos)

b) por quanto tempo essa energia abasteceria uma cidade com um milhão de habitantes, considerando que uma pessoa consome, em média, 100 kwh por mês. (2,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

1º semestre · 2º dia · Física: Relatividade restrita

Antipartículas, raras na natureza, possuem carga elétrica oposta à de suas partículas correspondentes. Se encontrássemos uma fonte de antipartículas, poderíamos produzir uma grande quantidade de energia, permitindo que elas se aniquilassem com suas partículas. Dessa forma, calcule:

a) a quantidade de energia que seria liberada se 2,0 gramas de antimatéria fossem aniquiladas com 2,0 gramas de sua matéria (considere a velocidade da luz igual a 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}); (2,5 pontos)

b) por quanto tempo essa energia abasteceria uma cidade com um milhão de habitantes, considerando que uma pessoa consome, em média, 100 kwh por mês. (2,5 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) \Delta E = \Delta m c^2 = 4 \times 10^{-3} \times (3 \times 10^8)^2 = 36 \times 10^{13}\text{ J}, ou seja, \Delta E = 3{,}6 \times 10^{14}\text{ J}. (2,5 pontos)

b) A potência média mensal consumida por pessoa é P_p = 100 \times 10^3 \times 3600 = 3{,}6 \times 10^8\text{ J/mês}.

A potência mensal consumida pela cidade de um milhão de habitantes é P_c = 10^6 \times P_p = 3{,}6 \times 10^{14}\text{ J/mês}.

Logo, o tempo, em meses, para que a cidade consuma a energia \Delta E = 3{,}6 \times 10^{14}\text{ J} é:

\Delta t = \frac{\Delta E}{P_c} = \frac{3{,}6 \times 10^{14}}{3{,}6 \times 10^{14}} = 1{,}0\text{ mês.}

(2,5 pontos)

Critério de correção

Atendeu plenamente ao que foi solicitado no item A a resposta do candidato que apresentou corretamente o cálculo da energia liberada pela aniquilação de 2,0 g de matéria por 2,0 g de antimatéria. Cada etapa do desenvolvimento foi pontuada independentemente. Repostas com a unidade errada ou sem unidade e os erros matemáticos foram pontuados parcialmente.

Atendeu plenamente ao que foi solicitado no item B a resposta do candidato que apresentou corretamente o cálculo do tempo que a e energia obtida no item “a” abasteceria uma cidade com um milhão de habitantes. Cada etapa do desenvolvimento foi pontuada independentemente. Repostas com a unidade errada ou sem unidade e os erros matemáticos foram pontuados parcialmente.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Na aniquilação, toda a massa das duas partículas (matéria e antimatéria) se converte em energia, segundo a relação de Einstein E = mc^2.

A massa total aniquilada é:

m = 2{,}0\ \text{g} + 2{,}0\ \text{g} = 4{,}0\ \text{g} = 4{,}0\times10^{-3}\ \text{kg}

Substituindo:

E = 4{,}0\times10^{-3}\cdot\left(3{,}0\times10^{8}\right)^2 = 4{,}0\times10^{-3}\cdot 9{,}0\times10^{16} = 3{,}6\times10^{14}\ \text{J}

Resposta: E = 3{,}6\times10^{14}\ \text{J}.

b) Primeiro, o consumo mensal da cidade:

E_{\text{cidade}} = 10^{6}\cdot 100\ \text{kWh} = 1{,}0\times10^{8}\ \text{kWh por mês}

Convertendo para joules, com 1\ \text{kWh} = 10^3\ \text{W}\cdot 3600\ \text{s} = 3{,}6\times10^{6}\ \text{J}:

E_{\text{cidade}} = 1{,}0\times10^{8}\cdot 3{,}6\times10^{6} = 3{,}6\times10^{14}\ \text{J por mês}

Como a energia liberada no item (a) é exatamente 3{,}6\times10^{14}\ \text{J}, o tempo de abastecimento é:

t = \frac{3{,}6\times10^{14}}{3{,}6\times10^{14}\ \text{J/mês}} = 1\ \text{mês}

Resposta: a energia abasteceria a cidade por 1 mês (cerca de 30 dias).

Assuntos: Relatividade restrita, Consumo de energia elétrica e instalações residenciais.

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Questão 4 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗