PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010
O GPS (sigla em inglês para sistema global de posicionamento) é composto por uma malha de 24 satélites que orbitam a Terra a uma altitude fixa e com velocidade constante. Nesses satélites estão instalados relógios atômicos que podem aferir o tempo com precisão de nanossegundos. Os satélites emitem ondas eletromagnéticas que se propagam com a velocidade da luz c. Essas ondas são codificadas de modo a fornecer as coordenadas do satélite e o instante em que o sinal foi emitido. Num certo instante t, o receptor capta os sinais de vários satélites e, a partir dos sinais obtidos de quatro satélites distintos, calcula as coordenadas (x, y, z) do receptor e o instante de tempo da recepção.
A figura a seguir representa uma versão unidimensional de um GPS, na qual os satélites foram substituídos por duas antenas fixas que emitem sinais informando suas posições e os instantes da emissão (X_1, t_1) e (X_2, t_2). Um veículo equipado com um GPS, que se move em uma dimensão, pode ter sua localização X e o instante t conhecidos, obtendo simultaneamente os sinais das duas antenas.
Considerando o exposto, determine:
a) as equações que fornecem a posição e o instante de tempo do veículo (X e t) em função das coordenadas das antenas, dos instantes de emissão e da velocidade da luz c; (3,0 pontos)
b) a posição do veículo e sua distância da antena mais próxima, quando t_1 = 2T e t_2 = T, em função de X_1, L e T. (2,0 pontos)
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Os sinais viajam com velocidade constante c. Tomando a antena 1 em X_1 e a antena 2 em X_2 = X_1 + L, com o veículo entre elas, cada sinal percorre a distância até o veículo no tempo t - t_i.
- Sinal da antena 1 (emitido em t_1, chega em t): X - X_1 = c(t - t_1) (1)
- Sinal da antena 2 (emitido em t_2, chega em t): X_2 - X = c(t - t_2) (2)
Somando (1) e (2), X se cancela:
Subtraindo (2) de (1), t se cancela:
Como X_2 - X_1 = L, o instante também pode ser escrito t = \dfrac{t_1+t_2}{2} + \dfrac{L}{2c}.
Resposta: X = \dfrac{X_1+X_2}{2} + \dfrac{c(t_2-t_1)}{2} e t = \dfrac{t_1+t_2}{2} + \dfrac{X_2-X_1}{2c}.
b) Com t_1 = 2T, t_2 = T e X_2 = X_1 + L, na expressão de X:
A distância até a antena 1 é X - X_1 = \dfrac{L - cT}{2}. A distância até a antena 2 é X_2 - X = \dfrac{L + cT}{2}.
A antena 1 é a mais próxima. Isso faz sentido: o sinal dela foi emitido mais tarde (t_1 > t_2), então viajou menos tempo. Para o veículo estar entre as antenas, é preciso cT < L.
Resposta: X = X_1 + \dfrac{L - cT}{2}; a antena mais próxima é a 1, a uma distância d = \dfrac{L - cT}{2}.
Assuntos: Ondas eletromagnéticas e espectro, Velocidade média e movimento uniforme.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗